Exercices de MPSI

[SigmaPi]

Mais si vous aviez lu et tenté de comprendre, peut-être que vous auriez pu déceler l'erreur de frappe et éviter de vous montrer à ce point dénigrant.

Et plutôt que ces types de remarques qui n'apportent franchement absolument rien à l'apprenant, (Azertybob et moi), personnellement j'aurais pensé que vous nous expliqueriez au minimum le problème (quitte à vous montrer moqueur en le faisant, peu importe).

[Magnéthorax]

Je sais pas mais je préférais la version sérieuse et rigoureuse, mais qui donnait des conseils et des indications sensés, sans se montrer agressif ou faire des piques désagréables. Surtout si c'est sans dire d'où vient l- 'hypothétique- problème dans la résolution que vous dénigrez

Je ne sais pas si c'est pour "rire" mais c'est tjrs désagréable pour les autres

C'est pour rire, je ne me prends pas au sérieux. A votre âge j'étais extrêmement mauvais en maths tout en ayant de bons résultats. La différence, c'est qu'il n'y avait pas d'outil comparable pour s'en rendre compte et s'initier un peu. La plupart du temps, je pense être constructif ici. Il se trouve que péter un petit câble de temps en temps permet de survivre.

Quant à Azerty, il y va un peu fort avec son "Par définition" : on est pas des jambons non plus.

[SigmaPi]

Ah d'accord je comprends

N'empêche si je vous avais pas répondu, j'vous en aurai voulu pour rien, ça aurait été dommage.

[Magnéthorax]

Vous auriez survécu à cette terrible épreuve.

J'envisage assez sérieusement de me lancer dans l'écriture d'un bouquin d'initiation aux maths à destination des lycéens qui se destinent à des études où il y en a une bonne dose. A travers les questionnements qui alimentent les fils où interviennent les moins "expérimentés", je sens un marché potentiellement énorme. Surtout quand on lit ce qui se fait déjà dans ce secteur de l'édition à grand tirage.

[mathophilie]

wallissen a écrit:
Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ la suite de nombres entiers définis par :
$ u_0 = 0 $ et pour tout $ n \in \mathbb{N} $ on a $ u_{2n} = u_n $ et $ u_{2n+1} = 1 - u_n $

1) Calculer $ u_{1990} $

2) Déterminer le nombre d’indices n , inférieurs ou égaux à 1990, tels que $ u_n = 0 $

3) Soit p un nombre entier naturel et $ N = (2^p - 1)^2 $
Calculer $ u_N $

Une proposition, pas des plus rigoureuses je pense :

SPOILER:

1/ Après des séries de calcul en fonction de la parité de l'indice, on trouve $ u_{1990} = u_{1} = 1 $

2/ D'après la définition de la suite, on constate que les seules valeurs que peut prendre $ u_k $ sont 0 et 1.
On a $ u_{2n} = u_n $ et $ u_{2n+1} = 1-u_n = 1-u_{2n} $. Donc on a toujours $ u_2n $ différent de $ u_{2n+1} $.
Ainsi, on peut "découper" la suite pour n allant de 0 à 1989 en $ 1990/2 = 995 $ "duo" de termes consécutifs dont un et seulement un est égal à 0.
Ainsi, il y a 995 indices n pour n inférieur ou égal à 1989 tels que $ u_n = 0 $.
De plus, on a démontrer que $ u_{1990} = 1 $.
Donc il y a 995 indices n, pour $ n\le1990 $, tels que $ u_n = 0 $.

3/ $ N = (2^p - 1)^2 = 2^{2p} -2*2^p +1 = 2^{p+1}(2^{p-1}-1) + 1 $. On remarque que N est ici de la forme 2k+1, avec k entier naturel.

Ainsi, comme u_{2k+1} = 1-u_{k}, pour tout p naturel, $ u_N = 1-u_{2^p(2^{p-1}-1} $

Or $ u_{2k} = u_k. $

D'où $ u_N = 1-u_{2^{p-1}-1} $

$ 2^{p-1}-1 = \sum_{k=0}^{p-2}2^k $

On pose f la fonction : N--> N, telle que $ f(a) = (a-1)/2 $

Si p = 2m avec m entier naturel, alors $ \sum_{k=0}^{p-2}2^k = \sum_{k=0}^{2(m-1)}2^k $.
Donc on va pouvoir appliquer la fonction f à l'indice $ 2^{p-1}-1 $ un nombre PAIR de fois, jusqu'à ce qu'il vaille 1. (en remarquant que $ 2^0 = 1 $)
On obtient alors l'égalité : $ u_{2^{p-1}-1} = u_1 $ (les 1 s'annulant entre eux du fait des signes)
D'où $ u_N = 0 $

Si p=2m+1 avec m entier naturel, alors $ \sum_{k=0}^{p-2}2^k = \sum_{k=0}^{2m-1}2^k $
Donc on va pouvoir appliquer la fonction f un nombre IMPAIR de fois à l'indice $ 2^{p-1}-1 $, jusqu'à ce qu'il vaille 1.
On obtient alors : $ u_{2^{p-1}-1} = 1- u_1 $
D'où $ u_N = 1 $

Question subsidiaire : On écrit les uns à côté des autres les termes de la suite $ u_n $ pour n allant de 0 à 1990. On obtient donc un très grand nombre de 1991 chiffres. Considérons ce nombre comme écrit en base 2.
Combien vaut-il en base 10 ?

[wallissen]

Jolie résolution mathophilie, bravo
Pour info, c'est un exercice de CG. Je te laisse deviner l'année

[wallissen]

Vous auriez survécu à cette terrible épreuve.

J'envisage assez sérieusement de me lancer dans l'écriture d'un bouquin d'initiation aux maths à destination des lycéens qui se destinent à des études où il y en a une bonne dose. A travers les questionnements qui alimentent les fils où interviennent les moins "expérimentés", je sens un marché potentiellement énorme. Surtout quand on lit ce qui se fait déjà dans ce secteur de l'édition à grand tirage.

initiation aux maths ?
Pauvre de nous, tout ce qu'on fait jusqu'en terminal est à jeter à la poubelle.

[lsjduejd]

Pauvre de nous, tout ce qu'on fait jusqu'en terminal est à jeter à la poubelle.

Nan pas tout, y'a les additions, les multiplications toussa

[mathophilie]

Un autre petit exo calculatoire :

Démontrez que $ \forall (x,n) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{N}^* $ on a :

$ x^n - 1 = (x-1) \sum_{k=1}^{n-1} x^k $

On peut le démo par récurrence. (culte du moindre effort ^^)
Une autre démo classique je crois :

SPOILER:

$ \sum_{k=1}^{n-1} x^k = 1 + x + x^2 + ... + x{n-1} $

Donc $ -x\sum_{k=1}^{n-1} x^k = -x - x^2 - ... - x^{n} $

En sommant les deux lignes, les termes s'annulent en diagonale, et il vient :

$ \sum_{k=1}^{n-1} x^k -x\sum_{k=1}^{n-1} x^k = 1 - x^n $

D'où $ (1-x)\sum_{k=1}^{n-1} x^k = 1-x^n $

Soit $ x^n - 1 = (x-1)\sum_{k=1}^{n-1} x^k $

@wallissen : Hello ! Ca fait un bail qu'on t'a pas vu
Ah ouais ? Français ou Sénégalais ? EDIT : Ahah mais je suis trop bête 1990 biensûr Ca me fait penser au Kangourou des maths, à chaque fois ils faisaient une fixette sur l'année du concours et 1/4 des énoncés des problèmes contenait 2010 par exemple, pour l'année 2010

Pauvre de nous, tout ce qu'on fait jusqu'en terminal est à jeter à la poubelle.

Nan pas tout, y'a les additions, les multiplications toussa

On se fait maltraiter par les intégrés maintenant

[wallissen]

Pauvre de nous, tout ce qu'on fait jusqu'en terminal est à jeter à la poubelle.

Nan pas tout, y'a les additions, les multiplications toussa

C'est pas les préréquis pour la classe de CE2 ça ? qui est apparemment ta classe . oui trop facile je sais, désolé

@mathophilie France .
Je serais incapable de trouver le CG sénégalais de 1990. Personne n'a songé à le numériser