
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Donc pour l'exo de youyou7, après sa recommandation sur fof et sa monotonie , j'ai travaillé de ce côté, et je bug sur une équation du 4e degré qui me semble irrésolible à la main, donc je me suis probablement planté de méthodes, enfin bref, si quelqu'un peut me remettre dans le droit chemin (
), je lui serai reconnaissante ^^ Je mets en spoiler au cas où certains continuent de chercher :

SPOILER:
Dernière modification par mathophilie le 13 janv. 2016 21:32, modifié 1 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
J'ai pas trop de mérite, j'avais posé une question à mon prof de maths en lui demandant si une suite dont la différence entre deux termes convergeait vers 0 était nécessairement convergente... Il m'a dit non mais m'a glissé qu'en revanche il était intéressant d'étudier la différence entre deux termes pour montrer que la suite était divergenteYoki a écrit :Bien joué pour l'exercice, c'est bien plus élégant que ce à quoi je pensais en plus

Du coup en regardant ton exo je m'en suis souvenue c'est tout

Juste par curiosité, tu aurais fait comment ? J'arrive pas à voir une deuxième méthode, donc la résolution d'un taupin ca m'intéresse

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Une proposition pour cet exo de YokiSoit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_n+2 = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n. $
1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n). $
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n). $

SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Le fait que tu puisses prouver la divergence tiens simplement du fait que si une suite converge, alors toutes les suites extraites de cette même suite convergent. Donc forcément, si l'une ne converge pas... ^^
Bon c'est pas au programme de terminale normalement, mais ça se démontre assez et vu que vous parliez de suites extraites... Et puis, "ça se voit" comme dirait un certain mécanicien.
Ma résolution tenait en une minoration de $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ par $ 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) $, qu'on obtient en développant $ (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})^2 $ et après ça va tout seul mais c'est moins sympa comme preuve.
Bon c'est pas au programme de terminale normalement, mais ça se démontre assez et vu que vous parliez de suites extraites... Et puis, "ça se voit" comme dirait un certain mécanicien.
Ma résolution tenait en une minoration de $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ par $ 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) $, qu'on obtient en développant $ (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})^2 $ et après ça va tout seul mais c'est moins sympa comme preuve.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Sinon plus simple :
$ \frac{1}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{k}} $ pour $ k\leq n $.
D'où $ \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n}}\leq \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}} $
Donc $ \sqrt{n}=\frac{n}{\sqrt{n}}\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} $
Et ça marche pour les racines p-ième plus généralement )
Faut pas se casser la tête hein ^^ ?
$ \frac{1}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{k}} $ pour $ k\leq n $.
D'où $ \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n}}\leq \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}} $
Donc $ \sqrt{n}=\frac{n}{\sqrt{n}}\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} $
Et ça marche pour les racines p-ième plus généralement )
Faut pas se casser la tête hein ^^ ?

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Chez un taupin bien formaté, la méthode classique c'est l'encadrement standard du terme général à l'aide d'intégrales triviales : c'est une méthode élégante car intuitive qui donne en plus un équivalent simple de la suite. C'est largement accessible à un terminal, mais on attend pas de lui que ça soit un réflexe.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Pour une fois que j'ai fait un truc plus court que la méthode 'par coeur', c'est bien nan ?



Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Oui mais on pas l'équivalent et la généralisation aux exposants irrationnels semble délicate.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
mathophilie a écrit :Donc pour l'exo de youyou7, après sa recommandation sur fof et sa monotonie , j'ai travaillé de ce côté, et je bug sur une équation du 4e degré qui me semble irrésolible à la main, donc je me suis probablement planté de méthodes, enfin bref, si quelqu'un peut me remettre dans le droit chemin (), je lui serai reconnaissante ^^ Je mets en spoiler au cas où certains continuent de chercher :
SPOILER:
Tes pistes sont bonnes, à présent, peux tu faire un lien entre les points fixes de f et ceux de fof ? (pour te "débarrasser" de ce 2nd degré)
Quelques indices en spoiler...
SPOILER:
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Coquille dans la définition de la suite ?Yoki a écrit :Soit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_n+2 = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n $.
1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n) $.
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n) $.