Exercices de MPSI

[mathophilie]

Donc pour l'exo de youyou7, après sa recommandation sur fof et sa monotonie , j'ai travaillé de ce côté, et je bug sur une équation du 4e degré qui me semble irrésolible à la main, donc je me suis probablement planté de méthodes, enfin bref, si quelqu'un peut me remettre dans le droit chemin ( ), je lui serai reconnaissante ^^ Je mets en spoiler au cas où certains continuent de chercher :

SPOILER:

On sait (fin plutôt on démontre ^^) que la fonction f telle que $ f(u_n) = u_{n+1} $ est décroissante sur l'intervalle [0;1].

Donc la fonction composée fof est croissante sur ce même intervalle.

Donc si on considère deux "sous-suites" $ (u_{2n}) $ et $ (u_{2n+1}) $, on sait que l'une est strictement croissante sur cet intervalle, et l'autre strictement décroissante.
Donc la je cherchais à savor si ces deux suites convergeaient vers la même limite, comme ça (u_n) converge, et donc j'ai essayé de chercher des points fixes de fof, mais je tombe sur une équation du 4e degré... (sans terme du 3e degré certes... ^^)
Suis-je sur la bonne voie ?

[mathophilie]

Bien joué pour l'exercice, c'est bien plus élégant que ce à quoi je pensais en plus

J'ai pas trop de mérite, j'avais posé une question à mon prof de maths en lui demandant si une suite dont la différence entre deux termes convergeait vers 0 était nécessairement convergente... Il m'a dit non mais m'a glissé qu'en revanche il était intéressant d'étudier la différence entre deux termes pour montrer que la suite était divergente

Du coup en regardant ton exo je m'en suis souvenue c'est tout

Juste par curiosité, tu aurais fait comment ? J'arrive pas à voir une deuxième méthode, donc la résolution d'un taupin ca m'intéresse

[mathophilie]

Soit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_n+2 = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n. $
1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n). $
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n). $

Une proposition pour cet exo de Yoki :

SPOILER:

Après essai sur les premiers termes, on conjecture que $ u_{n+1} - u_n = 2n $

Et de ce fait $ u_n = u_0 + 2\sum_{k=0}^{n-1}k $

D'où $ u_n = n(n-1) - 1 $

Et pour le démontrer rigoureusement, j'aurais fait une récurrence double à partir de cette expression.
VRAI au rang 0 pour $ u_0 $ et $ u_1 $.

On suppose que pour un rang n donné, $ u_n = n(n-1) - 1 $ et $ u_{n+1} = (n+1)n - 1 $

$ u_{n+2} = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_{n} = (n+1)^2n - (n+1) - n(n-1)(n+2) + (n+2) $

D'où $ u_{n+2} = n^3 +2n^2 + n - n - 1 - n^3 $$ - 2n^2 + n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 1 $

Or $ n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 $

Donc $ u_{n+2} = (n+1)(n+2) - 1 $

D'où le résultat par récurrence

[Yoki]

Le fait que tu puisses prouver la divergence tiens simplement du fait que si une suite converge, alors toutes les suites extraites de cette même suite convergent. Donc forcément, si l'une ne converge pas... ^^
Bon c'est pas au programme de terminale normalement, mais ça se démontre assez et vu que vous parliez de suites extraites... Et puis, "ça se voit" comme dirait un certain mécanicien.

Ma résolution tenait en une minoration de $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ par $ 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) $, qu'on obtient en développant $ (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})^2 $ et après ça va tout seul mais c'est moins sympa comme preuve.

[lsjduejd]

Sinon plus simple :
$ \frac{1}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{k}} $ pour $ k\leq n $.
D'où $ \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n}}\leq \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}} $

Donc $ \sqrt{n}=\frac{n}{\sqrt{n}}\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} $
Et ça marche pour les racines p-ième plus généralement )


Faut pas se casser la tête hein ^^ ?

[Magnéthorax]

Chez un taupin bien formaté, la méthode classique c'est l'encadrement standard du terme général à l'aide d'intégrales triviales : c'est une méthode élégante car intuitive qui donne en plus un équivalent simple de la suite. C'est largement accessible à un terminal, mais on attend pas de lui que ça soit un réflexe.

[lsjduejd]

Pour une fois que j'ai fait un truc plus court que la méthode 'par coeur', c'est bien nan ?

[Magnéthorax]

Oui mais on pas l'équivalent et la généralisation aux exposants irrationnels semble délicate.

[youyou7]

Donc pour l'exo de youyou7, après sa recommandation sur fof et sa monotonie , j'ai travaillé de ce côté, et je bug sur une équation du 4e degré qui me semble irrésolible à la main, donc je me suis probablement planté de méthodes, enfin bref, si quelqu'un peut me remettre dans le droit chemin ( ), je lui serai reconnaissante ^^ Je mets en spoiler au cas où certains continuent de chercher :

SPOILER:

On sait (fin plutôt on démontre ^^) que la fonction f telle que $ f(u_n) = u_{n+1} $ est décroissante sur l'intervalle [0;1].

Donc la fonction composée fof est croissante sur ce même intervalle.

Donc si on considère deux "sous-suites" $ (u_{2n}) $ et $ (u_{2n+1}) $, on sait que l'une est strictement croissante sur cet intervalle, et l'autre strictement décroissante.
Donc la je cherchais à savor si ces deux suites convergeaient vers la même limite, comme ça (u_n) converge, et donc j'ai essayé de chercher des points fixes de fof, mais je tombe sur une équation du 4e degré... (sans terme du 3e degré certes... ^^)
Suis-je sur la bonne voie ?

Tes pistes sont bonnes, à présent, peux tu faire un lien entre les points fixes de f et ceux de fof ? (pour te "débarrasser" de ce 2nd degré)

Quelques indices en spoiler...

SPOILER:

Il y'a une valeur de lambda qui va changer "beaucoup" de choses

SPOILER:

C'est 3/4 ! A présent il faut distinguer les cas qui s'imposent...

[Magnéthorax]

Soit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_n+2 = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n $.

1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n) $.
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n) $.

Coquille dans la définition de la suite ?