Exercices de MPSI

[SigmaPi]

Pas trop dispo ces derniers jours, je prépare mes compositions

[mathophilie]

Ah ok je comprends Bonne chance !

[youyou7]

Tu peux faire plus que supposer cette appartenance !

[mathophilie]

Oui effectivement, si $ L = 1-l*L^2 $ avec L solution, alors L est aussi solution de $ f(f(x)) = x $ dans la mesure où on obtient : $ L = 1 - l(1 - lL^2)^2 $
Equivaut à $ L = 1-lL^2 $ et que L solution de cette égalité.

Mais j'ai une question : Il n'y a appartenance que dans un sens, c'est bien ça ? Tous les points fixes de fof ne sont pas dans l'ensemble E des points fixes de f ?

[youyou7]

Oui, ou plus simplement, si x est point fixe de f, f(f(x))=f(x)=x

Oui, il n'y a pas l'inclusion réciproque.

[mathophilie]

Oki merci, donc il me faut factoriser de sorte à me retrouver avec un polynôme du 2nd degré probablement, comme ca je trouve les autres solutions, et ensuite je détermine pour quelles valeurs de x les sous-suites choisies convergent vers la même limite L ?

J'ai un truc à faire ce soir, mais promis, je viendrai à bout de cet exo demain

Si quelqu'un a d'autre part un exo à proposer, je refuse pas pour ma part

Je garde les limites à déterminer en tête, aussi

[Syl20]

soit $ z \in \mathbb{C}, p \in \mathbb{N}^* $, tel que $ |z| = 1 $ et $ z^p \neq 1 $.

Montrer que $ Re(\frac{1}{1-z^p}) = \frac{1}{2} $. (résultat que je trouve très surprenant d'ailleurs)

SPOILER:

je complique volontairement un peu l'énoncé, mais il suffit de le prouver pour p=1

Pour p=1, j'ai trouvé :

SPOILER:

Soit$ z=a+bi $ et $ Z=\frac{1}{1-z} $
Comme $ |z| = 1 $, on a donc $ \sqrt{a^2+b^2}=1 $, d'où $ a^2+b^2=1 $.
On a alors $ Z=\frac{1}{1-a-bi}=\frac{1-a+bi}{(1-a)^2+b^2}=\frac{1-a+bi}{1-2a+a^2+b^2}=\frac{1-a+bi}{2-2a} $
On peut donc trouver la partie réelle : $ Re(Z)=\frac{1-a}{2-2a}= \frac{1}{2} $

Après, pour $ z^p $, je ne sais pas trop. Il n'y a pas de formule pour $ |z^p| $ ?
Sinon, peut-être une récurrence...

[JeanN]

Je pense que tu sais exprimer $ |z^p| $ en fonction de |z| et de p...

[Syl20]

Je pense que tu sais exprimer $ |z^p| $ en fonction de |z| et de p...

Merci ; en effet, on trouve simplement $ |z^p|=|z|^p $
On peut donc passer au cas général sans trop de problème :

SPOILER:

$ z^p=a'+b'i $ et donc $ a'^2+b'^2=1 $
D'où$ Z_{p}=\frac{1-a'+b'i}{2-2a'} $
Et finalement $ Re(Z_p)=\frac{1}{2} $

[mathophilie]

Juste, pour l'exo de youyou7, 0.75 n'est pas la valeur de lambda à trouver pour distinguer le cas convergent du cas n'admet aucune limite ??

Bienvenue à Syl20, ton pseudo ressemble étrangement à celui de Sylve