Exercices de MPSI

[Yoki]

Pour cette limite :

3. $ \frac{xsinx}{1 - cosx} $ en 0

Je sais pas trop si j'ai le droit, mais je trouve ça :

SPOILER:

$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{1 - cosx} $

De plus $ \frac{sin^2x}{1 - cosx} = \frac{(2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}))^2}{1-1+2sin^2(\frac{x}{2})} $

D'où $ \frac{sin^2x}{1 - cosx} = \frac{4sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}}{2sin^2\frac{x}{2}} $

Donc $ \frac{sin^2x}{1 - cosx}= 2cos^2\frac{x}{2} $

Donc $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} =\lim_{x\rightarrow 0}2cos^2\frac{x}{2} = 2 $

Comment passes-tu de $ xsinx $ à $ sin^2x $ ?

$ \frac{x\sin x}{1-\cos x}=\frac{\sin x}{x}\frac{x^2}{1-\cos x} $

Mais bon, la limite en $ 0 $ de $ \frac{x^2}{1-\cos x} $ n'est pas exigible en terminale...

A parce qu'on doit s'arrêter à ce qui est exigible au bac? On va pas aller bien loin alors...
La limite peut-être trouvée avec les outils de terminale quoi qu'il en soit

[mathophilie]

Ben justement je ne sais pas si j'ai le droit ^^

Je me suis dit que x = sin(x) quand x=0 et qu'ils avaient le même sens de variation au voisinage de 0 (si on se place dans les intervalles [-pi;0] et [0;pi], du coup je me suis permis de remplacer x par sin(x) pour le calcul de limites ^^

[Yoki]

Edit: rien, ça risque de vous embrouiller

[JeanN]

Ton raisonnement marche aussi pour remplacer sin(x) par 2x...

[JeanN]

Ton raisonnement marche aussi pour remplacer sin(x) par 2x...

Observe plutôt la limite de $ \dfrac{\sin(x)}{x} $ en 0. C'est un taux d'accroissement connu.
Pour le reste, c'est pas mal mais transforme ton expression avant d'en présenter la limite car tu ne sais pas au début que la limite existe...

[Magnéthorax]

A parce qu'on doit s'arrêter à ce qui est exigible au bac? On va pas aller bien loin alors...
La limite peut-être trouvée avec les outils de terminale quoi qu'il en soit

Si si : on peut aller assez loin. Il faut juste faire l'effort d'y réfléchir.
Que la limite soit trouvable avec des outils de terminale : ok. Mais sans indication, c'est sûrement un exercice plus difficile que votre énoncé de départ.

[Magnéthorax]

A méditer après avoir résolu l'exo : comment démontrer que la fonction sinus est dérivable en 0 et déterminer son nombre dérivé en ce réel ?

[mathophilie]

Ah mais avec l'indication de la possible décomposition avec $ \frac{sin(x)}{x} $, je croix que j'ai une autre méthode de résolution :

SPOILER:

$ \frac{sinx}{1 - cosx} = \frac{2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})}{1-1+2sin^2(\frac{x}{2})} $

D'où $ \frac{sinx}{1 - cosx} = \frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} $

Donc $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} $

De plus, en posant $ X = \frac{x}{2} $, on a :
$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin\frac{x}{2}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2X}{sinX} $

De plus $ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinX}{2X} = \frac{1}{2} et \lim_{X\rightarrow \frac{1}{2}} \frac{1}{X}= 2. $

Donc $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin\frac{x}{2}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2X}{sinX}= 2 $

D'où $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} = 2 $ (car la limite de $ cos\frac{x}{2} $ = 1 en 0)

Et donc $ \lim__{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{1 - cosx} = 2 $

[Yoki]

Bah, laissons réfléchir un peu et s'il y a une demande d'indication, on peut la donner ensuite
Et puis on n'est pas obligé de se ramener à cette forme pour trouver la limite.

mathophilie: voilà.
Mais fais attention à ce que tu fais tendre (là je ne vois que des x, mais aucun X....) et vers quoi.

[mathophilie]

Ton raisonnement marche aussi pour remplacer sin(x) par 2x...

Oui c'est vrai...

Observe plutôt la limite de $ \dfrac{\sin(x)}{x} $ en 0. C'est un taux d'accroissement connu.
Pour le reste, c'est pas mal mais transforme ton expression avant d'en présenter la limite car tu ne sais pas au début que la limite existe...

Oui effectivement, je n'y avais pas pensé... J'ai tilté trop tard, quand Magnéthorax a parlé d'une décomosition analogue...

Merci de vos messages

D'autre part, je trouve la première limite difficile : j'ai beau factoriser, multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée, rien n'y fait