Exercices de MPSI

[rabhix98]

Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

T'es pas sûr parce que t'as pas développé, moi aussi je reste dans le doute

Non, non après vérification le développement est bon

[rabhix98]

Montrer que:
Pour tout n entier supérieur ou égale à 3, il existe $ ( x_{n} ) $ une suite d'entiers naturels tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
Exemple: pour n=3, on a $ x_{1}=2 $ , $ {x}_2=3 $ et $ x_{3}=6 $ car 1/2 +1/3 +1/6 = 1

SPOILER:

On va démonter par récurrence la propriété suivante : pour tout entier $ n\geq 3 $, il existe une suite $ (x_0,x_1,...,x_n) $ de longueur $ n $ tel que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
-Initialisation : pour $ n=3 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $. La suite $ (2,3,6) $ est donc une suite $ (x_3) $
pour $ n=4 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1 $. La suite $ (2,4,6,12) $ est donc une suite $ (x_4) $
La propriété est donc vraie pour $ n=3 $ et $ n=4 $
-Hérédité : Supposons qu'il existe deux rangs consécutifs $ n $ et $ n+1 $ tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $ et $ \sum_1^{n+1} \frac{1}{x'_{k}} =1 $
Montrons alors qu'on peut trouver une suite de longueur n+2 qui vérifie la propriété
On sait que $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $, d'où $ \frac{1}{2k}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{6k}=\frac{1}{k} $
Ainsi, pour la suite $ (x_n) $ classée dans l'ordre croissante, on a $ \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{2x_n}+\frac{1}{3x_n}+\frac{1}{6x_n}=1 $
On a donc trouvé une suite de longueur $ n+2 $ qui vérifie la propriété.
La propriété est héréditaire.
-Conclusion : La propriété est vraie pour n=3 et n=4, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $ n\geq 3 $

C'est juste en effet, on a fait la même chose

[Hunted]

Pas sûr mais j'ai ça:
NB, c'est un peu rapide mais compréhensible

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

Ça me parait curieux comme raisonnement... Tu pars de "pour tout (a,b) entiers positifs" pour conclure que a=b=1... je sais pas mais y'a un truc de bizarre niveau rédactionnel. Après poste ta démo complète pour voir.

[Hunted]

Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

T'es pas sûr parce que t'as pas développé, moi aussi je reste dans le doute

Non, non après vérification le développement est bon

C'est pas faux mais c'est incomplet, par exemple le couple (5, 125) vérifie aussi la propriété et pourtant (5, 125) différent de (1,1).

[mathophilie]

Ca sent bon l'absurde l'exo d'Hunted ou je rêve ?

M'enfin je trouve pas de contradiction ^^

[Hunted]

Ca sent bon l'absurde l'exo d'Hunted ou je rêve ?

M'enfin je trouve pas de contradiction ^^

Même par l'absurde il est chaud à faire ! ^^

[mathophilie]

Ca sent bon l'absurde l'exo d'Hunted ou je rêve ?

M'enfin je trouve pas de contradiction ^^

Même par l'absurde il est chaud à faire ! ^^

Ouais je confirme !

[Hunted]

Ca sent bon l'absurde l'exo d'Hunted ou je rêve ?

M'enfin je trouve pas de contradiction ^^

Même par l'absurde il est chaud à faire ! ^^

Ouais je confirme !

Tu veux un indice ? Enfin une piste ?

[lsjduejd]

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite d'entiers naturels strictement croissante telle que pour tout entier naturel $ k $, on ait : $ u_k $ divise $ u_{k+1} $.
On suppose de plus que $ S=\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{1}{u_k} $ est rationnel. On note alors $ S=\frac{p}{q} $ avec $ (p,q)\in\mathbb{N^*}^2 $, $ p $ et $ q $ premiers entre eux.

Montrer alors que : $ 2^{-k}u_k\rightarrow +\infty $ est équivalent à ce que $ q $ ne divise aucun $ u_k $.

Sauf erreur

SPOILER:

Pour le moment , je n'ai pu montrer qu'un seul sens :
Nous montrerons par contraposée que q ne divise aucun terme $ \Rightarrow 2^{-n}u_n \rightarrow +\infty $
On note $ v_n=\frac{u_n}{2^n} $.

On peut traduire $ u_n $ est une suite d'entiers naturels strictement croissante tq $ u_n\mid u_{n+1} $ en $ \frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 2 $ .

Ensuite ,on voit que $ v_n $ est croissante et que si $ (\forall N\in\mathbb{N})(\exists n\geq N)\quad \frac{u_{n+1}}{u_n}>2\quad $ alors $ \quad lim v_n=\infty $

Donc si $ lim v_n $ est fini alors on doit avoir $ u_{n+1}=2\cdot u_n $ à partir d'un certain rang $ u_{N} $.

$ S=\sum_{n\in\mathb{N}\frac{1}{u_n}=\frac{1}{u_0}+\frac{1}{u_2}+\cdots+\frac{1}{u_N}+\cdots $

On a aussi $ \frac{1}{u_N}+\frac{1}{u_{N+1}}+\cdots = \frac{1}{u_N}(1+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+\cdots)= \frac{2}{u_N} $

On pose maintenant $ k_n=\frac{u_n+1}{u_n} $ , $ k_n\in\mathbb{N} $

$ S=\frac{1}{u_0}+\frac{1}{u_1}+\cdots+\frac{2}{u_N}=\frac{1}{u_N}(k_0\cdots k_N+\cdots +k_{N-1}+2) $

Donc $ S=\frac{P}{u_N} $ avec $ P\in\mathbb{N} $ .

On ne sait pas trop si $ P\wedge u_N=1 $ , mais comme $ \frac{p}{q} $ est la forme irréductible de $ S $ alors $ u_N $ ne peut être qu'un multiple de $ q $

Ouais très bien, maintenant le sens réciproque

De l'aide ?

[ladmzjkf]

J'ai examiné plein de pistes pour la réciproque, mais au bout du compte je sèche pas mal donc une indication ne serait pas de refus lsjduejd