Exercices de MPSI

[kakille]

$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\ln x $ : you failed

Une telle fonction existe : tu peux utiliser ton corollaire du tvi pour la construire, comme on construit le ln à partir de l'exp (souvent = en terminale, depuis la dernière réforme).

[donnerwetter]

Je me disais bien que c'était bizarre... Merci en tout cas.

[mathophilie]

Oui oui ne t'inquiètes pas, ce que tu as écris (le fait de faire tendre n vers l'infini à x fixé) était juste. Tonio1804 l'a juste rédigé un peu différemment.

Ok d'accord, merci

[wallissen]

$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\ln x $ : you failed

Une telle fonction existe : tu peux utiliser ton corollaire du tvi pour la construire, comme on construit le ln à partir de l'exp (souvent = en terminale, depuis la dernière réforme).

D'ailleurs d'après les questions de l'énoncé on peut voir qu'une telle fonction a plusieurs propriétés en commun avec la fonction ln (définition avec l'expo qui rapelle un peu ln, même monotonie avec ln, mêmes limites, mêmes branches infinies etc...)

[Syl20]

[Exo 524.1 ]

Soit $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R} $ telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}_+ $
Montrer que :

(a) f est croissante

(b) $ lim_{x \to +\infty }f(x) = \infty $

(c) $ \frac{f(x)}{\ln x} $ tend vers 1 quand x tend vers $ +\infty $

Question subsidiaire : une telle fonction existe-t-elle ?

J'ai un peu cherché sur les dernières pages du topic en quête d'une solution à cette dernière question, mais je n'ai rien trouvé. Du coup, j'aurais aimé avoir un avis sur ce qui suit (mon fidèle instinct mathématique me dit qu'il doit y avoir un problème quelque part, mais honnêtement je ne vois pas où) :

SPOILER:

S'il existait une fonction f telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}^{+*} $, alors on aurait $ e^{f(x)} = \frac{x}{f(x)} $ avec $ f(x)>0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R}^{+*} $, d'où $ f(x) = ln(\frac{x}{f(x)}) $.

Or d'après (c) $ lim_{x \to +\infty }\frac{f(x)}{\ln x} = 1 $. D'où $ lim_{x \to +\infty } f(x) = ln(x) $. Ainsi :

$ lim_{x \to +\infty } ln(\frac{x}{f(x)}) = ln(x) $ et donc $ lim_{x \to +\infty } f(x) = 1 $.

Mais alors $ lim_{x \to +\infty } f(x)e^{f(x)} = lim_{x \to +\infty } x = e $ ce qui est impossible.

Donc l'hypothèse initiale est fausse : $ f $ n'existe pas.

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 60#p783553
Ici et pages suivantes .
En fait , c'est plutôt $ lim_{x \to +\infty } f(x) = lim ln(x)=+\infty $. Tu ne peux pas faire tendre vers ln(x) qui contient la variable x qui n'est pas fixée

[wallissen]

Un exo que j'aime bien

On suppose a < b. En utilisant les propriétés de calcul d'aire pour l'intégrale, calculer $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx $

[Oka]

L1 c'est en première année de licence à la fac, non ?
Tu veux passer les concours de MP en étant en première année de licence , ou tu veux faire juste les exos pour fun ?

oui je vais essayer le concours des ens, c'est gratuit donc y a rien a perdre

[wallissen]

L1 c'est en première année de licence à la fac, non ?
Tu veux passer les concours de MP en étant en première année de licence , ou tu veux faire juste les exos pour fun ?

oui je vais essayer le concours des ens, c'est gratuit donc y a rien a perdre

Ah oui les ens en plus T'es mon champion oka
T'as pu t'y préparer en une seule année, ou t'avais commencé depuis le lycée ? ou alors t'y vas en freestyle ?

Bonne chance en tout cas

[Mykadeau]

On suppose a < b. En utilisant les propriétés de calcul d'aire pour l'intégrale, calculer$ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx $

Une proposition:

SPOILER:

On recherche l'aire sous la courbe C dont les points ont pour coordonnées $ (x;\sqrt{(x-a)(b-x)) $
$ y=\sqrt{(x-a)(b-x) $
donc $ y^{2}=\left | x-a \right |\left | b-x \right | $
Comme $ (x\geq a) $et $ (x\leq b) $.
On a $ y^2=(x-a)(b-x) $
$ y^2=-x^2+x(a+b)-ab $
$ x^2+y^2-x(a+b)=-ab $
$ (x-\frac{a+b}{2})^{2}+y^2=(\frac{a+b}{2})^{2}-ab $
$ (x-\frac{a+b}{2})^{2}+y^2=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-4ab}{4} $
$ (x-\frac{a+b}{2})^{2}+y^2=(\frac{a-b}{2})^{2} $ avec y positif.
La courbe est donc un demi cercle de centre $ (\frac{a+b}{2};0) $ et de rayon $ (\frac{b-a}{2}) $
L'aire sous la courbe est donc de $ \frac{1}{2}(\pi (\frac{b-a}{2})^{2}) $ soit $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx=\frac{\pi(b-a)^2}{8} $.

[wallissen]

Tout à fait .. Bravo C'est un joli exo qui illustre les applications de l'intégrale je trouve

Dans le livre où je l'ai tiré, c'est plus mesquin : ils ont juste demandé calculer l'intégral sans donner l'indication du calcul d'aire.