Exercices de MPSI

[wallissen]

Il y a plus intéressant que de calculer des sommes en maths ...


0. Soit $ f $ une fonction continue sur $ [0,1] $ à valeurs strictement positives. Démontrez l'inégalité : $ \int_0^1 \ln{f} \leq \ln{\int_0^1 f} $.


1. Soient $ f,g : [0,1]\rightarrow \mathbb{R} $ deux fonctions continues, monotones de même monotonie. Démontrez : $ \int_0^1 f \times \int_0^1 g \leq \int_0^1fg $.

2. Soit $ f : [0,1]\rightarrow \mathbb{R_+} $ une fonction continue. On note $ I=\int_0^1 f $. Démontrez : $ \sqrt{1+I^2} \leq\int_0^1 \sqrt{1+f^2} \leq 1+I $.

Par contre pour la 2, un petit indice ne serait pas de refus...

J'ai pensé au même genre d'artillerie lourde (similaire ) que le 1, un peu HP mais déjà évoqué il y a quelques pages.

[mathophilie]

1. Soient $ f,g $ : $ [0,1]\rightarrow \mathbb{R} $ deux fonctions continues, monotones de même monotonie. Démontrez : $ \int_0^1 f \times \int_0^1 g \leq \int_0^1fg $.

SPOILER:

L'on considère deux réels a et b tels que $ (a;b) \in [0;1]^2, a \le b $.
Puisque f et g sont monotones et de même monotonie, on a $ [f(a)-f(b)][g(a)-g(b)]\ge 0 $.
Soit en développant : $ f(a)g(a) + f(b)g(b) \ge f(a)g(b) + f(b)g(a) $.
En intégrant par rapport à a : $ \int_0^1f(a)g(a)da + f(b)g(b) \ge g(b)\int_0^1f(a)da + f(b)\int_0^1g(a)da $
Puis en intégrant par rapport à b (les intégrales de borne finie étant des nombres...) : $ 2\int_0^1fg \ge 2\int_0^1f \int_0^1 g $
D'où le résultat : $ \int_0^1 f \times \int_0^1 g \leq \int_0^1fg $

[mathophilie]

J'ai pensé au même genre d'artillerie lourde (similaire ) que le 1, un peu HP mais déjà évoqué il y a quelques pages.

... Je reviens je vais fouiner dans les pages (même si la démo recherchée ne doit pas être HP j'ai sais le concept et je suis pour )

[Siméon]

L'inégalité de Jensen existe dans une version plus générale que dans le cas discret : la preuve la plus simple que je connaisse ne passe pas par le cas discret.

La preuve la plus simple que je connaisse passe par le cas discret si on rajoute l'hypothèse que la fonction convexe $ \phi $ considérée est dérivable.
Elle consiste à montrer le résultat dans un premier temps pour les fonctions affines, puis à utiliser ce lemme pour une tangente de $ \phi $ bien choisie, en utilisant le fait que $ \phi $ est au dessus de toutes ses tangentes (qui résulte bien du cas discret).

Ai pas suivi votre débat

En gros :
- Les objets discrets sont faciles à définir, durs à étudier.
- Les objets continus sont durs à définir, faciles à étudier.

[mathophilie]

En gros :
- Les objets discrets sont faciles à définir, durs à étudier.
- Les objets continus sont durs à définir, faciles à étudier.

Oki merci

[kakille]

Joliment dit.

Cela dit, on peut poser la question suivante aux lycéens : soit $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ telle que pour tous les réels $ x,y $, pour tout réel $ \lambda $ dans $ [0,1] $, on a $ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) $.

Démontrez que pour tout entier naturel $ n\geq 2 $, pour tous les réels $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ et pour tous réels $ \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n $ dans $ [0,1] $ tels que $ \lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1 $, on a : $ f(\lambda_1x_1+\lambda_2 x_2+\ldots+\lambda_n x_n) $ $ \leq \lambda_1 f(x_1)+\lambda_2 f(x_2)+\ldots+\lambda_n f(x_n) $.

[spemaths]

Pour le 0. de Monsterkuku, une petite indication quand même

SPOILER:

$ ln(x) \leq x - 1 $ pour tout x > 0

C'est une inégalité à laquelle on penserait pas en TS d'après moi alors qu'elle est naturelle dans le supérieur

[mathophilie]

Pour le 0. de Monsterkuku, une petite indication quand même

SPOILER:

$ ln(x) \leq x - 1 $ pour tout x > 0

C'est une inégalité à laquelle on penserait pas en TS d'après moi alors qu'elle est naturelle dans le supérieur

Indication déjà donnée par Siméon et exo que j'ai déjà résolu
Par contre si tu as une indication pour la 2, je veux bien

EDIT : Ah non ca vient. Je crois que je trouve.

[wallissen]

J'ai pensé au même genre d'artillerie lourde (similaire ) que le 1, un peu HP mais déjà évoqué il y a quelques pages.

... Je reviens je vais fouiner dans les pages (même si la démo recherchée ne doit pas être HP j'ai sais le concept et je suis pour )

Ah non ça marche pas...

J'en profite pour proposer un exo

Montrer qu'il n'existe pas de fonction positive, non nulle et de classe C1 (dérivable et de dérivée continue ) sur $ [0, +\infty[ $ telle que $ f'(x) \geq f^2(x) $ pour tout $ x \geq 0 $

Astuce

SPOILER:

On pourra s'intéresser à $ f(0) $ et remarquer que $ \frac{1}{f(0)} = \int_0^{\frac{1}{f(0)}}dx $

[Siméon]

J'ai pensé au même genre d'artillerie lourde (similaire ) que le 1, un peu HP mais déjà évoqué il y a quelques pages.

... Je reviens je vais fouiner dans les pages (même si la démo recherchée ne doit pas être HP j'ai sais le concept et je suis pour )

Ah non ça marche pas...

Mais si !

Montrer qu'il n'existe pas de fonction positive et de classe C1 (dérivable et de dérivée continue ) sur $ [0, +\infty[ $ telle que $ f'(x) \geq f^2(x) $ pour tout $ x \geq 0 $

Caramba, encore raté !

SPOILER:

La fonction nulle convient.