Cubes dans Z/pZ (p premier impair)
Cubes dans Z/pZ (p premier impair)
Bonjour,
J'aimerai connaitre à quelle condition est-on un cube dans Z/pZ (avec p premier impair).
J'aimerai connaitre à quelle condition est-on un cube dans Z/pZ (avec p premier impair).
Re: Cubes dans Z/pZ (p premier impair)
$ \mathbb Z/p\mathbb Z $ est un corps avec $ p $ premier.
Re: Cubes dans Z/pZ (p premier impair)
Comme tout élément x de (Z/pZ)* (c'est bien là dedans que tu travailles ?) vérifie x^p=x
Si p est congru à 2 modulo 3, on obtient un certain k tel que x=(x^k)^3*x^2, donc x^(-1) est un cube, donc x aussi.
Donc tous les éléments de (Z/pZ)* sont alors des cubes.
Si p est congru à 1 modulo 3 ça doit être un peu plus ardu.
Si p est congru à 2 modulo 3, on obtient un certain k tel que x=(x^k)^3*x^2, donc x^(-1) est un cube, donc x aussi.
Donc tous les éléments de (Z/pZ)* sont alors des cubes.
Si p est congru à 1 modulo 3 ça doit être un peu plus ardu.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/
Re: Cubes dans Z/pZ (p premier impair)
D'ou tirez vous ces deux cas?
Il s'agit en effet de $ (Z/pZ)^* $
Quant au cas, p=1 mod 3, je pense qu'il est nécessaire de considerer le noyau de l'application qui à tout $ x $ de $ Z/pZ^* $ associe $ x^3 $
De la on peut tirer le nombre de cube dans $ Z/pZ^* $
Pensez vous que c'est le chemin à suivre?
Il s'agit en effet de $ (Z/pZ)^* $
Quant au cas, p=1 mod 3, je pense qu'il est nécessaire de considerer le noyau de l'application qui à tout $ x $ de $ Z/pZ^* $ associe $ x^3 $
De la on peut tirer le nombre de cube dans $ Z/pZ^* $
Pensez vous que c'est le chemin à suivre?
Re: Cubes dans Z/pZ (p premier impair)
La réciprocité cubique est ton ami (un ami qui a du caractère d'ailleurs ....)
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_reciprocity
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_reciprocity
Re: Cubes dans Z/pZ (p premier impair)
On étudie l'application x->x^3.
Si elle est non bijective, ça veut dire que x^3=1 possède une solution autre que 1, donc que x²+x+1 possède une racine (donc deux) dans Z/pZ. Et c'est le cas si le discriminant, -3 (il faut traiter le cas p=3 à part!) possède une racine carrée ou non. On peut donc calculer le symbole de jacobi $ \left(\frac{-3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right) $ Et donc si p est congru à 2 modulo 3, tout élément de Z/pZ est un cube, sinon si p congru à 1 modulo 3, l'application considérée est non injective.
On obtient dans ce cas deux racines cubiques supplémentaires de 1, donc il n'y a que (p-1)/3 éléments de Z/pZ (et zéro) qui sont des cubes. Trouver lesquels exactement me parait un chouia compliqué...!
Si elle est non bijective, ça veut dire que x^3=1 possède une solution autre que 1, donc que x²+x+1 possède une racine (donc deux) dans Z/pZ. Et c'est le cas si le discriminant, -3 (il faut traiter le cas p=3 à part!) possède une racine carrée ou non. On peut donc calculer le symbole de jacobi $ \left(\frac{-3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right) $ Et donc si p est congru à 2 modulo 3, tout élément de Z/pZ est un cube, sinon si p congru à 1 modulo 3, l'application considérée est non injective.
On obtient dans ce cas deux racines cubiques supplémentaires de 1, donc il n'y a que (p-1)/3 éléments de Z/pZ (et zéro) qui sont des cubes. Trouver lesquels exactement me parait un chouia compliqué...!
Doctorant Maths-Info, ancien ENS Cachan.