Problème sur les polynômes

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carrieres
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Problème sur les polynômes

Message par carrieres » dim. mars 15, 2009 12:58 pm

Bonjour,

Voilà je suis en train de faire un DM de maths sur les polynômes et je rencontre quelques difficultés.

Soit la suite $ (a_k) $ d'élééments de K=R ou C définie par :
$ a_0 = 1 $ $ \forall n>2, \sum_{k=0}^{n-1}{\frac{a_k}{(n-k)!}=0 $

et pour n dans N, $ A_n = \sum_{k=0}^{n}{\frac{a_k}{(n-k)!}X^{n-k}} $

On me demande de vérifier que le suite ($ A_n $ est l'unique suite de polynômes vérifiant :
$ P_0=1 $
$ P'_{n+1} = P_n $
$ P_n (0) = P_n (1) $


J'ai commencé par poser un polynôme $ B_n $ de degré n qui vérifie ces propriétés, et j'ai essayé de montrer par récurrence sur n que $ B_n = A_n $
Pour n=0 c'est évident
J'ai supposé $ B_n = A_n $
donc $ B'_{n+1}= A'_{n+1} $
En intégrant, je voulais arriver à $ B_{n+1}= A_{n+1} $ mais il me reste alors une constante d'intégration que je n'arrive pas à faire partir pour montre que les deux polynômes sont égaux :? Si quelqu'un aurait une petite idée ?

Merci d'avance

Shindara
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Re: Problème sur les polynômes

Message par Shindara » dim. mars 15, 2009 1:33 pm

N'y aurait-il pas une erreur d'énoncé ?

Parce que si j'essaie de construire une suite de polynomes vérifiant tes 3 conditions :
$ A_0=1 $ évidemment
$ A_1=X+k $ d'après la propriété de dérivation
et il est impossible d'obtenir que ce polynôme prenne les mêmes valeurs en 0 et 1.....

Je suppose que le problème vient de la dernière condition...

mathema
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Re: Problème sur les polynômes

Message par mathema » jeu. mars 19, 2009 4:03 am

salut à ttous ;) !!!

vous pouvez utiliser l'unicité de la forme suivante (Formule de Taylor)

on a:

$ A_n = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{(n-k)!}K^{(n-k)} = \sum_{k=0}^n \frac{a_{n-k}}{k!}X^k $

et on sais que toute polynome ecrit d'unr faon unique:

$ P(X)=\sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(0)}{k!}X^k $

et conclure ...
$ \mathbb{LAHOUCINE} $

Philippe PATTE
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Re: Problème sur les polynômes

Message par Philippe PATTE » jeu. mars 19, 2009 12:04 pm

mathema a écrit :vous pouvez utiliser l'unicité de la forme suivante (Formule de Taylor)

C'est gentil de proposer une solution. C'est encore plus gentil de passer deux minutes à l'essayer pour voir si elle a des chances d'aboutir.


Deuxième chose : on ne peut pas espérer résoudre un exercice dont on ne maîtrise pas l'énoncé.
Et on ne peut pas progresser en maths si on ne comprend pas l'importance d'une écriture propre, de quantificateurs convenables placés au bon endroit.
On ne gagne pas de temps à supprimer des mots, on perd toute possibilité de compréhension !

Pour quels n veut-on $ P'_{n+1}=P_n $ ? $ n \geq 0 $ ? $ P_n(0)=P_n(1) $ ? $ n \geq 2 $ ?

Si c'est le cas, peut-être qu'on peut penser déterminer $ P_1 $ avec la condition $ P_2(0)=P_2(1) $ ...
Philippe PATTE
MP maths Lakanal Sceaux

Shindara
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Re: Problème sur les polynômes

Message par Shindara » ven. mars 20, 2009 11:23 pm

C'est là qu'on voit l'avantage de l'expérience d'un prof. Là où on peut seulement tenter de voir où est l'erreur dans l'énoncé, vous devinez l'énoncé correct ! ;)

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