Théorème du transfert

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs: Philippe PATTE, JeanN, Michel Quercia

Théorème du transfert

Messagepar evariste gallois » Lun Avr 06, 2009 11:02 pm

Bonsoir, aujourd'hui nous avons vu le théorème du transfert dans le cadre des VAR discrètes. J'ai pas tellement bien compris la démonstration. Si quelqu'un pouvait prendre un peu de temps pour la ré-éxpliquer. Merci et bonne soirée.
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Messagepar Dadin » Lun Avr 06, 2009 11:17 pm

Et bien pour démontrer ce théorème, il suffit de le montrer pour une famille dense de fonctions. On en déduit ensuite le résultat général par densité.
La démonstration la plus "facile" est avec l'indicatrice d'un borélien (si tu travailles avec lebesgue). Tu regardes que ca marche et tu en déduit que c'est vrai pour toutes les fonctions mesurables. Dans le cas discret, idem, mais avec la mesure de comptage.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar evariste gallois » Lun Avr 06, 2009 11:28 pm

Merci pour ta réponse. A vrai dire elle est pas très évidente pour moi car je suis en première année de prépa HEC voie économique :lol:. Je sais pas s'il y a des ECS ou ECE sur le forum qui l'auraient vu voire des professeur de maths :oops:. En gros voilà la définition de cours:

http://marielle.fritz.club.fr/cours/va_aleatoires.pdf (voir page 4 en bas)
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Dadin » Mar Avr 07, 2009 12:12 am

Arf tu n'as alors peut être pas tout compris à mon charabia...
Voici commet procéder, et je t'offre même une démonstration complète !

on essai de démontrer :
On a $X$ une variable aléatoire réelle discrète et $f:\Omega \rightarrow \mathbr(R)$ une fonction numérique, et on veut E(f(X)) = $\sum\limits_{x \in X(\Omega)} f(x)P(X = x)$

Pour le démontrer on remarque tout d'abord que $f(X)$ prend ses valeurs dans $G = f(X(\Omega))$ et on va poser une nouvelle variable aléatoire $Y = f(X)$. Jusque là, rien de nouveau !
On pose alors pour \[y \in G$, $G_y = \{x \in X(\Omega)$ tel que \[f(x) = y\} = f^{-1}({y})\]. Les ensembles $G_y$ forment une partition de $X(\Omega)$ ce qui veut dire que $\bigcup \limits_{y \in G} G_y = X(\Omega)$ et tous les $G_y$ sont disjoints.

Maintenant, par définition des $G_y$ on a : $$\forall y \in G_y \,,\,\, P(Y=y) = \sum\limits_{x \in G_y} P(X = x)$$

Il ne reste donc qu'à sommer par paquet (on a bien sur supposé la famille sommable) :

$E(Y) = E(f(X)) = \sum \limits_{y \in G} yP(Y=y) = \sum \limits_{y \in G} ( \sum \limits_{x \in G_y} P(X = x)f(x))$ $= \sum \limits_{x \in X(\Omega)} f(x)P(X=x)$

Et voila, en espérant ne pas avoir fait de faute(s) et désolé pour ces formules LaTeX que je n'arrive pas à bien caser sur les lignes...
EDIT : une faute gravissime maintenant corrigée ! Et désolé pour le 'famille sommable' j'ai été un peu vite en besogne !
Dernière édition par Dadin le Mar Avr 07, 2009 1:05 am, édité 1 fois au total.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar bzkl » Mar Avr 07, 2009 12:44 am

Dadin a écrit:Il ne reste donc qu'à sommer par paquet (on a bien sur supposé la famille sommable) :


Les difficultés théoriques liées aux permutations de signes somme dans les séries ne sont pas vues en ECS1. Sauf à utiliser du hors programme, soit on le démontre complètement dans le cas fini, soit on admet que la convergence absolue permet de permuter les signes sommes dans le cas non fini.

En clair pour les ECS1 de passage, « famille sommable », ça veut dire que l'on peut sommer les termes dans n'importe quel ordre, et donc écrire les doubles sommes dans un sens ou dans l'autre.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar evariste gallois » Mar Avr 07, 2009 7:23 pm

Merci beaucoup! Ca ressemble en effet plus à ce que j'attendais :wink:. En effet comme l'a dit Bzkl on admet plus de chose que les sup dans le démonstration mais au moins ca me parait un peu plus clair. Il faut être frais pour comprendre tout ca :lol:. Bonne soirée!
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Dadin » Mar Avr 07, 2009 7:34 pm

La notion de "famille sommable" n'est ni au programme de sup, ni au programme de spé ! Ca veut juste dire, comme l'a justement fait remarquer bzkl, qu'on peut sommer les termes de la séries dans l'ordre que l'on veut... sans changer la valeur de la somme (ce qui n'est pas le cas de toutes les familles, on montre que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est sommable si et seulement si $\sum |u_n| converge) !
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Re: Théorème du transfert

Messagepar YLS » Mar Avr 07, 2009 9:18 pm

Juste pour pinailler :
Dadin a écrit:On pose alors pour \[y \in G$, $G_y = \{x \in X(\Omega)$ tel que \[f(x) = y\} = f^{-1}({y})\]. Les ensembles $G_y$ forment une partition de $X(\Omega)$ ce qui veut dire que $\bigcup \limits_{y \in G} G_y = X(\Omega)$ et tous les $G_y$ sont disjoints.

Tu voulais parler de l'image réciproque f^{-1}(\{y\}). Sinon la démonstration est bien :wink:


Moi aussi j'ai une question. Soit X une variable à densité définie sur l'espace probabilisé (\Omega,\mathcal{A},P), et A un évènement de probabilité non nulle. On définit l'espérance de X pour la loi de probabilité P_A (aussi appelée "espérance conditionnelle de X sachant A) comme étant l'espérance (éventuelle) de X lorsqu'on se place sur l'espace probabilisé (\Omega,\mathcal{A},P_A). Je crois que c'est la définition la plus générale; dans mon cours, la notion d'espérance conditionnelle n'a été présentée que dans le cadre de variables aléatoires discrètes. Lorsqu'il s'agit de déterminer E(X\mid A), on fait le calcul de l'intégrale (sous réserve de convergence) \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}{tf_{X,A}(t)dt}, où f_{X,A} est... justement, quoi? "Une densité de X pour la loi de probabilité P_A" ? Cette densité me paraît dépendre clairement de la loi P_A, c'est la dérivée de la fonction de répartition de X pour la loi conditionnelle P_A, c'est-à-dire t\rightarrow P_A[(X\leq t)]. En fait, c'est surtout un problème de vocabulaire que j'ai, je vois mal comment formaliser les choses le plus proprement possible. Merci de votre aide :P
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Zitoune » Mar Avr 07, 2009 10:02 pm

Pour moi, l'espérance conditionnelle de X sachant une sous-tribu \mathcal{B} de \mathcal{A}, c'est une variable aléatoire... (qui correspond à une sorte de projection de X sur l'espace des variables aléatoires B-intégrables).
Du coup, je ne vois pas trop ce que tu veux dire :?

Si je prends X et Y deux variables aléatoires dont la loi jointe (donc de (X,Y)) a pour densité p(x, y) , la densité de la loi de Y est q(y) = \int p(x,y) dx et celle de \mathbb{E} (X | Y) serait alors \displaystyle \int \nu (Y, dx) =\frac{1}{q(Y)} \int dx  \  p(x, Y), là où q(y) est non nul. (Sinon on remplace \nu (y, dx) par \delta_o(dx)).

Alors, pour toute fonction h mesurable positive (ou bornée), on a \displaystyle \mathbb{E}(h(X) | Y) := y \longrightarrow \frac{1}{q(y)} \int dx  \  p(x, y) h(x)

Ici je crois que tu voudrais E (X | 1_A).
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Eti-N » Mar Avr 07, 2009 11:13 pm

YLS a écrit:Moi aussi j'ai une question. Soit X une variable à densité définie sur l'espace probabilisé (\Omega,\mathcal{A},P), et A un évènement de probabilité non nulle. On définit l'espérance de X pour la loi de probabilité P_A (aussi appelée "espérance conditionnelle de X sachant A) comme étant l'espérance (éventuelle) de X lorsqu'on se place sur l'espace probabilisé (\Omega,\mathcal{A},P_A). Je crois que c'est la définition la plus générale; dans mon cours, la notion d'espérance conditionnelle n'a été présentée que dans le cadre de variables aléatoires discrètes.

Et normalement, elle ne devrait l'être que dans ce cadre-là. (Elle n'est pas au programme pour d'autres types de variables aléatoires.) De toute façon, comme te l'explique maladroitement Zitoune, l'espérance conditionnelle telle que définie en ECS n'est que peu d'intérêt...

Lorsqu'il s'agit de déterminer E(X\mid A), on fait le calcul de l'intégrale (sous réserve de convergence) \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}{tf_{X,A}(t)dt}, où f_{X,A} est... justement, quoi? "Une densité de X pour la loi de probabilité P_A" ? Cette densité me paraît dépendre clairement de la loi P_A, c'est la dérivée de la fonction de répartition de X pour la loi conditionnelle P_A, c'est-à-dire t\rightarrow P_A[(X\leq t)]. En fait, c'est surtout un problème de vocabulaire que j'ai, je vois mal comment formaliser les choses le plus proprement possible. Merci de votre aide :P

Oui, ça me semble correct. (Mais bon, puisque vous ne savez pas vraiment ce qu'est une densité...)

Zitoune a écrit:Pour moi, l'espérance conditionnelle de X sachant une sous-tribu \mathcal{B} de \mathcal{A}, c'est une variable aléatoire... (qui correspond à une sorte de projection de X sur l'espace des variables aléatoires B-intégrables).
Du coup, je ne vois pas trop ce que tu veux dire :?

Là et avec ce qui suit, tu le fais craquer.

Ce qu'il veut lui, sous réserve que A soit de proba non nulle, c'est \frac{1}{P(A)} E(X1_A), qui est égal à \displaystyle \frac{1}{P(A)} \int_{-\infty}^{+\infty}{t1_{B}(t)f_X(t)dt} si X est une variable à densité et s'il existe B élément de la tribu tel que A=(X \in B).

---

Alors, pour toute fonction h mesurable positive (ou bornée), on a \displaystyle \mathbb{E}(h(X) | Y) := y \longrightarrow \frac{1}{q(y)} \int dx  \  p(x, y) h(x)


Je sais que ce sont des maths appliquées, mais j'imagine qu'on écrit soit \displaystyle \mathbb{E}(h(X) | Y) = \frac{1}{q(Y)} \int p(x, Y) h(x) dx soit \displaystyle \mathbb{E}(h(X) | Y) := \omega \longrightarrow \frac{1}{q(Y(\omega))} \int  p(x, Y(\omega)) h(x) dx.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Zitoune » Mar Avr 07, 2009 11:57 pm

Oui je voulais mettre en avant le fait qu'une espérance conditionnelle est a priori une application (même dans le cas discret). Après, je me suis mal arrangé :?
J'ai le malheur de ne pas connaître le programme ECS, donc mon message n'a effectivement aucun intérêt. (Et si c'est comme la définition de la compacité pour les PC, il est fort probable que cela n'ait même pas de sens.)

Au temps pour moi. :oops:
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Eti-N » Mer Avr 08, 2009 12:00 am

Pas de problème. ;) En ECS (et encore, on ne fait ça que dans le cas discret pour faire des calculs...), sous réserve que A un élément de la tribu de probabilité non nulle et que X1_A admette une espérance, on leur définit l'espérance conditionnelle de X sachant A par E(X|A)=\frac{1}{P(A)} E(X1_A). Dans leur programme, une espérance conditionnelle, c'est un réel et non une variable aléatoire (je sais, c'est choquant. ;))
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Re: Théorème du transfert

Messagepar LB » Mer Avr 08, 2009 11:36 am

Les notations en probas sont particulières tout de même. C'est le seul domaine (en maths françaises donc Bourbakisées, du moins) où l'on écrit "h(X)" pour quelque chose qui reste une composée de fonctions, donc là où la notation rond est habituellement utilisée.
Mais c'est probablement parce qu'on tend à cacher le côté fonction des variables aléatoires (on les notes en majuscule alors que les fonctions boréliennes en minuscules etc...). Mais ça m'est déjà arrivé d'avoir du mal à faire certaines choses (finir par confondre...) juste à cause de ces notations :(. Du coup, j'écris tout avec des ronds, au probable ( :mrgreen: ) grand désespoir de mon prof et chargé de TD.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
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Re: Théorème du transfert

Messagepar YLS » Mer Avr 08, 2009 4:14 pm

Hum. Le seul message que j'ai à peu près compris c'est celui-là lol :
Eti-N a écrit:Pas de problème. ;) En ECS (et encore, on ne fait ça que dans le cas discret pour faire des calculs...), sous réserve que A un élément de la tribu de probabilité non nulle et que X1_A admette une espérance, on leur définit l'espérance conditionnelle de X sachant A par E(X|A)=\frac{1}{P(A)} E(X1_A). Dans leur programme, une espérance conditionnelle, c'est un réel et non une variable aléatoire (je sais, c'est choquant. ;))

Enfin, dans la mesure où je n'ai aucune notion sur les couples de variables quelconques/à densité, et que tous vos propos sur l'espérance conditionnelle semblent reposer là-dessus, c'est pas étonnant.

Ceci dit, je ne sors pas cette histoire d'espérance conditionnelle d'une variable à densité de nulle part, en fait ça vient tout droit de ce sujet (plutôt sympa par ailleurs) : [HEC 2008 (II)]. Tout se passe dans la partie III, les questions à problèmes, ie. qui font intervenir cette espèce de "densité conditionnelle", sont la 1.d) et la 2.b). Enfin regardez plutôt l'introduction de la partie III, ça me paraît assez explicite. En plus, le sujet ne parle même pas de variable à densité pour X (même si dans les questions c'est effectivement le cas), mais de "variable aléatoire à valeurs dans R"...
Alors, que penser? Petite blague de la part des concepteurs de sujet? Ils ne manquent pas d'humour d'ailleurs, puisque d'après le rapport du jury, sur cette partie III :
Hormis les questions non traitées par les candidats, les principales erreurs proviennent des confusions entre variable aléatoire et loi de probabilité : on note toujours dans les copies, des « variables conditionnelles » ou des « événements conditionnels », et il est rare de rencontrer la définition d’une loi conditionnelle ou de la probabilité conditionnelle de A sachant B (pourtant au programme de la première année).

Ahah, ils l'ont bien cherché faut dire.

En tout cas, tous les calculs fonctionnent en prenant pour "densité conditionnelle" la dérivée de t \mapsto P_{(K=k)}[(X \leq t)]. Mais on perd du temps bêtement à essayer de rédiger formellement alors qu'on ne peut quasiment pas avec les définitions données en ECS.

PS : Si quelqu'un trouve l'avant-dernière question du sujet, partie IV, 2.a), je suis preneur, c'est la seule réponse qui me manque :mrgreen:
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Eti-N » Mer Avr 08, 2009 6:16 pm

YLS a écrit:Hum. Le seul message que j'ai à peu près compris c'est celui-là lol :
Eti-N a écrit:Pas de problème. ;) En ECS (et encore, on ne fait ça que dans le cas discret pour faire des calculs...), sous réserve que A un élément de la tribu de probabilité non nulle et que X1_A admette une espérance, on leur définit l'espérance conditionnelle de X sachant A par E(X|A)=\frac{1}{P(A)} E(X1_A). Dans leur programme, une espérance conditionnelle, c'est un réel et non une variable aléatoire (je sais, c'est choquant. ;))

Enfin, dans la mesure où je n'ai aucune notion sur les couples de variables quelconques/à densité, et que tous vos propos sur l'espérance conditionnelle semblent reposer là-dessus, c'est pas étonnant.

La définition que je t'ai donnée pour l'espérance conditionnelle par rapport un élément de probabilité non nulle est la définition la plus générale que l'on puisse avoir. Tu peux vérifier, dans le cas où X est discréte, que ça correspond bien à l'espérance de X par rapport à la proba conditionnelle P_A (en utilisant le théorème de transfert, justement). Dans le cas général (et même dans le cas à densité), je ne peux pas t'expliquer pourquoi la formule est également valable (ça irait beaucoup trop loin, on a besoin de l'intégrale de Lebesgue, etc.)

Ceci dit, je ne sors pas cette histoire d'espérance conditionnelle d'une variable à densité de nulle part, en fait ça vient tout droit de ce sujet (plutôt sympa par ailleurs) : [HEC 2008 (II)]. Tout se passe dans la partie III, les questions à problèmes, ie. qui font intervenir cette espèce de "densité conditionnelle", sont la 1.d) et la 2.b). Enfin regardez plutôt l'introduction de la partie III, ça me paraît assez explicite. En plus, le sujet ne parle même pas de variable à densité pour X (même si dans les questions c'est effectivement le cas), mais de "variable aléatoire à valeurs dans R"...

J'en avais parlé avec quelqu'un. En effet, c'est plutôt mal défini. On cherche à vous faire utiliser des choses en vous faisant admettre de nombreuses propriétés. (Quel intérêt?) Ce qu'il faut retenir, c'est que E(X|K=k) est l'espérance conditionnelle de X par rapport à la proba P_{(K=k)}. Par bonheur, X est une variable à densité par rapport à cette proba conditionnelle (par la question 1)a)). La 1)d) n'est qu'une vérification de la formule à partir de la question précédente (qui donne l'espérance de X), puisque la 1)a) te permet de calculer g(k) et d'appliquer le théorème de transfert à g(K).

Ils ne manquent pas d'humour d'ailleurs, puisque d'après le rapport du jury, sur cette partie III :
Hormis les questions non traitées par les candidats, les principales erreurs proviennent des confusions entre variable aléatoire et loi de probabilité : on note toujours dans les copies, des « variables conditionnelles » ou des « événements conditionnels », et il est rare de rencontrer la définition d’une loi conditionnelle ou de la probabilité conditionnelle de A sachant B (pourtant au programme de la première année).

Le sujet n'est pas très clair, mais il devrait être clair dans la tête des candidats que les variables sont des fonctions (avec des caractéristiques en plus) et que le fait de conditionner n'a d'influence que sur les lois des variables aléatoires et non sur les variables elles-même. (Idem pour les événements, ce sont des ensembles, il n'y a que leur proba qui est affecté par... le choix de la proba, conditionnelle ou non).

En tout cas, tous les calculs fonctionnent en prenant pour "densité conditionnelle" la dérivée de t \mapsto P_{(K=k)}[(X \leq t)]. Mais on perd du temps bêtement à essayer de rédiger formellement alors qu'on ne peut quasiment pas avec les définitions données en ECS.

En même temps, donner une densité pour une variable aléatoire ça revient à donner la loi de cette variable aléatoire. Mais puisque pour une variable aléatoire, sa loi dépend de la proba que l'on considére sur la tribu, la densité d'une variable aléatoire dépend également de la proba que l'on considère sur la tribu. Autrement dit, ce n'est pas tant de densité conditionnelle dont il faut parler mais de densité par rapport à une probabilité conditionnelle.

Habituellement, on écrit, pour tous a et b réels (a<b), P(X \in [a,b]) = \int_a^b f(x)dx. Maintenant, puisqu'on ne regarde plus la loi de X par rapport à P mais par rapport à un certain P_A, il suffit de trouver une fonction g telle que, pour tous a et b réels (a<b), P_A(X \in [a,b]) = \int_a^b g(x)dx. Ca se fait facilement grâce au 1)a).

---

Pour la question IV.2)a), en remplaçant les valeurs de \theta^\star en fonction de celles de \overline{\theta} dans l'expression de R(\theta^\star,\theta), puis en développant le carré ((1-\frac{c}{B_p})\overline{\theta_j}-\theta_j)^2=((\overline{\theta_j}-\theta_j)-\frac{c}{B_p}\overline{\theta_j})^2, en simplifiant par B_p à un endroit, en utilisant la linéarité de l'espérance et ce qu'on demande d'admettre au début de la question, je trouve que ce qu'on nous demande de calculer est égal à E(\frac{c^2}{B_p}-2c) + 2cE(\frac{2K}{p-2+2K}), ce qui est à son tour égal (on transporte la constante dans l'espérance de droite et on met au même dénominateur) à c^2E(\frac{1}{B_p}) - 2c(p-2)E(\frac{1}{p-2+2K}), ce qui est presque ce qu'on nous demande de calculer. Il reste à prouver que E(\frac{1}{B_p}) = E(\frac{1}{p-2+2K}) et c'est acquis grâce à la partie III...
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