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Prepas.org • Consulter le sujet - Théorème du transfert

Théorème du transfert

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs: JeanN, Michel Quercia

Théorème du transfert

Messagepar evariste gallois » Lun Avr 06, 2009 11:02 pm

Bonsoir, aujourd'hui nous avons vu le théorème du transfert dans le cadre des VAR discrètes. J'ai pas tellement bien compris la démonstration. Si quelqu'un pouvait prendre un peu de temps pour la ré-éxpliquer. Merci et bonne soirée.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Dadin » Lun Avr 06, 2009 11:17 pm

Et bien pour démontrer ce théorème, il suffit de le montrer pour une famille dense de fonctions. On en déduit ensuite le résultat général par densité.
La démonstration la plus "facile" est avec l'indicatrice d'un borélien (si tu travailles avec lebesgue). Tu regardes que ca marche et tu en déduit que c'est vrai pour toutes les fonctions mesurables. Dans le cas discret, idem, mais avec la mesure de comptage.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar evariste gallois » Lun Avr 06, 2009 11:28 pm

Merci pour ta réponse. A vrai dire elle est pas très évidente pour moi car je suis en première année de prépa HEC voie économique :lol:. Je sais pas s'il y a des ECS ou ECE sur le forum qui l'auraient vu voire des professeur de maths :oops:. En gros voilà la définition de cours:

http://marielle.fritz.club.fr/cours/va_aleatoires.pdf (voir page 4 en bas)
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Dadin » Mar Avr 07, 2009 12:12 am

Arf tu n'as alors peut être pas tout compris à mon charabia...
Voici commet procéder, et je t'offre même une démonstration complète !

on essai de démontrer :
On a $X$ une variable aléatoire réelle discrète et $f:\Omega \rightarrow \mathbr(R)$ une fonction numérique, et on veut E(f(X)) = $\sum\limits_{x \in X(\Omega)} f(x)P(X = x)$

Pour le démontrer on remarque tout d'abord que $f(X)$ prend ses valeurs dans $G = f(X(\Omega))$ et on va poser une nouvelle variable aléatoire $Y = f(X)$. Jusque là, rien de nouveau !
On pose alors pour \[y \in G$, $G_y = \{x \in X(\Omega)$ tel que \[f(x) = y\} = f^{-1}({y})\]. Les ensembles $G_y$ forment une partition de $X(\Omega)$ ce qui veut dire que $\bigcup \limits_{y \in G} G_y = X(\Omega)$ et tous les $G_y$ sont disjoints.

Maintenant, par définition des $G_y$ on a : $$\forall y \in G_y \,,\,\, P(Y=y) = \sum\limits_{x \in G_y} P(X = x)$$

Il ne reste donc qu'à sommer par paquet (on a bien sur supposé la famille sommable) :

$E(Y) = E(f(X)) = \sum \limits_{y \in G} yP(Y=y) = \sum \limits_{y \in G} ( \sum \limits_{x \in G_y} P(X = x)f(x))$ $= \sum \limits_{x \in X(\Omega)} f(x)P(X=x)$

Et voila, en espérant ne pas avoir fait de faute(s) et désolé pour ces formules LaTeX que je n'arrive pas à bien caser sur les lignes...
EDIT : une faute gravissime maintenant corrigée ! Et désolé pour le 'famille sommable' j'ai été un peu vite en besogne !
Dernière édition par Dadin le Mar Avr 07, 2009 1:05 am, édité 1 fois au total.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar bzkl » Mar Avr 07, 2009 12:44 am

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Re: Théorème du transfert

Messagepar evariste gallois » Mar Avr 07, 2009 7:23 pm

Merci beaucoup! Ca ressemble en effet plus à ce que j'attendais :wink:. En effet comme l'a dit Bzkl on admet plus de chose que les sup dans le démonstration mais au moins ca me parait un peu plus clair. Il faut être frais pour comprendre tout ca :lol:. Bonne soirée!
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Dadin » Mar Avr 07, 2009 7:34 pm

La notion de "famille sommable" n'est ni au programme de sup, ni au programme de spé ! Ca veut juste dire, comme l'a justement fait remarquer bzkl, qu'on peut sommer les termes de la séries dans l'ordre que l'on veut... sans changer la valeur de la somme (ce qui n'est pas le cas de toutes les familles, on montre que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est sommable si et seulement si $\sum |u_n| converge) !
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Re: Théorème du transfert

Messagepar YLS » Mar Avr 07, 2009 9:18 pm

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Re: Théorème du transfert

Messagepar Zitoune » Mar Avr 07, 2009 10:02 pm

Pour moi, l'espérance conditionnelle de X sachant une sous-tribu \mathcal{B} de \mathcal{A}, c'est une variable aléatoire... (qui correspond à une sorte de projection de X sur l'espace des variables aléatoires B-intégrables).
Du coup, je ne vois pas trop ce que tu veux dire :?

Si je prends X et Y deux variables aléatoires dont la loi jointe (donc de (X,Y)) a pour densité p(x, y) , la densité de la loi de Y est q(y) = \int p(x,y) dx et celle de \mathbb{E} (X | Y) serait alors \displaystyle \int \nu (Y, dx) =\frac{1}{q(Y)} \int dx  \  p(x, Y), là où q(y) est non nul. (Sinon on remplace \nu (y, dx) par \delta_o(dx)).

Alors, pour toute fonction h mesurable positive (ou bornée), on a \displaystyle \mathbb{E}(h(X) | Y) := y \longrightarrow \frac{1}{q(y)} \int dx  \  p(x, y) h(x)

Ici je crois que tu voudrais E (X | 1_A).
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Eti-N » Mar Avr 07, 2009 11:13 pm

Dernière édition par Eti-N le Mer Avr 08, 2009 11:55 am, édité 4 fois au total.
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Zitoune » Mar Avr 07, 2009 11:57 pm

Oui je voulais mettre en avant le fait qu'une espérance conditionnelle est a priori une application (même dans le cas discret). Après, je me suis mal arrangé :?
J'ai le malheur de ne pas connaître le programme ECS, donc mon message n'a effectivement aucun intérêt. (Et si c'est comme la définition de la compacité pour les PC, il est fort probable que cela n'ait même pas de sens.)

Au temps pour moi. :oops:
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Re: Théorème du transfert

Messagepar Eti-N » Mer Avr 08, 2009 12:00 am

Pas de problème. ;) En ECS (et encore, on ne fait ça que dans le cas discret pour faire des calculs...), sous réserve que A un élément de la tribu de probabilité non nulle et que X1_A admette une espérance, on leur définit l'espérance conditionnelle de X sachant A par E(X|A)=\frac{1}{P(A)} E(X1_A). Dans leur programme, une espérance conditionnelle, c'est un réel et non une variable aléatoire (je sais, c'est choquant. ;))
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Re: Théorème du transfert

Messagepar LB » Mer Avr 08, 2009 11:36 am

Les notations en probas sont particulières tout de même. C'est le seul domaine (en maths françaises donc Bourbakisées, du moins) où l'on écrit "h(X)" pour quelque chose qui reste une composée de fonctions, donc là où la notation rond est habituellement utilisée.
Mais c'est probablement parce qu'on tend à cacher le côté fonction des variables aléatoires (on les notes en majuscule alors que les fonctions boréliennes en minuscules etc...). Mais ça m'est déjà arrivé d'avoir du mal à faire certaines choses (finir par confondre...) juste à cause de ces notations :(. Du coup, j'écris tout avec des ronds, au probable ( :mrgreen: ) grand désespoir de mon prof et chargé de TD.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
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Re: Théorème du transfert

Messagepar YLS » Mer Avr 08, 2009 4:14 pm

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Re: Théorème du transfert

Messagepar Eti-N » Mer Avr 08, 2009 6:16 pm

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