Voilà, c'est ce que ce sujet m'a permis de comprendre. Je n'avais jamais vraiment réfléchi à ce qu'était une loi de probabilité, ni au fait que tout calcul découle de celle que l'on s'est donnée.Eti-N a écrit :En même temps, donner une densité pour une variable aléatoire ça revient à donner la loi de cette variable aléatoire. Mais puisque pour une variable aléatoire, sa loi dépend de la proba que l'on considére sur la tribu, la densité d'une variable aléatoire dépend également de la proba que l'on considère sur la tribu. Autrement dit, ce n'est pas tant de densité conditionnelle dont il faut parler mais de densité par rapport à une probabilité conditionnelle.En tout cas, tous les calculs fonctionnent en prenant pour "densité conditionnelle" la dérivée de $ t \mapsto P_{(K=k)}[(X \leq t)] $. Mais on perd du temps bêtement à essayer de rédiger formellement alors qu'on ne peut quasiment pas avec les définitions données en ECS.
Habituellement, on écrit, pour tous a et b réels (a<b), $ P(X \in [a,b]) = \int_a^b f(x)dx $. Maintenant, puisqu'on ne regarde plus la loi de X par rapport à P mais par rapport à un certain $ P_A $, il suffit de trouver une fonction g telle que, pour tous a et b réels (a<b), $ P_A(X \in [a,b]) = \int_a^b g(x)dx $. Ca se fait facilement grâce au 1)a).
Oh f***, je suis con. J'étais justement arrivé à $ c^2E(\frac{1}{B_p}) - 2c(p-2)E(\frac{1}{p-2+2K}) $, et je ne comprenais pas comment il pouvait rester ce $ E(\frac{1}{B_p}) $ qui me paraissait incalculable. La partie III montre effectivement que pour toute variable $ H_n $ qui suit une loi $ \chi^2(n,\lambda) $, si $ K $ suit une loi de Poisson $ \mathcal{P}(\frac{\lambda}{2}) $, alors on a $ E(\frac{1}{H_n}) = E(\frac{1}{n-2+2K}) $. Or, on vient de montrer (et sans se fouler) à la question précédente que $ B_p $ suit une loi $ \chi^2(p,b_p) $, avec $ K $ de loi $ \mathcal{P}(\frac{b_p}{2}) $. MiracleEti-N a écrit :Pour la question IV.2)a), en remplaçant les valeurs de $ \theta^\star $ en fonction de celles de $ \overline{\theta} $ dans l'expression de $ R(\theta^\star,\theta) $, puis en développant le carré $ ((1-\frac{c}{B_p})\overline{\theta_j}-\theta_j)^2=((\overline{\theta_j}-\theta_j)-\frac{c}{B_p}\overline{\theta_j})^2 $, en simplifiant par $ B_p $ à un endroit, en utilisant la linéarité de l'espérance et ce qu'on demande d'admettre au début de la question, je trouve que ce qu'on nous demande de calculer est égal à $ E(\frac{c^2}{B_p}-2c) + 2cE(\frac{2K}{p-2+2K}) $, ce qui est à son tour égal (on transporte la constante dans l'espérance de droite et on met au même dénominateur) à $ c^2E(\frac{1}{B_p}) - 2c(p-2)E(\frac{1}{p-2+2K}) $, ce qui est presque ce qu'on nous demande de calculer. Il reste à prouver que $ E(\frac{1}{B_p}) = E(\frac{1}{p-2+2K}) $ et c'est acquis grâce à la partie III...
Merci Eti-N. J'ai vraiment bien aimé ce sujet 2008. Pas comme le 2007 (II) qui est vraiment infâme. Je bloque partout -_-