Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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colis
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Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. avr. 13, 2009 6:18 pm

Bonjour,

Partant de l'idée de Shy, avec son topic "Exos symphas MPSi" (sic !) qui est maintenant dans les oubliettes du forum, je vous propose un nouveau topic, pour ceux qui voudraient faire autre chose pendant cette période de révision (un clin d'oeil à Madec).

Au hasard, un exercice pour commencer:

Niveau intermédiaire a écrit : Existe -t-il une norme $ N $ sur $ M(n, \mathbb{C}) $ tel que pour tout $ A $ et $ B $ semblables, $ N(A)=N(B) $ ?
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Thaalos
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. avr. 13, 2009 6:35 pm

$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Eti-N » lun. avr. 13, 2009 6:41 pm

Thaalos a écrit :$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Ce qu'il faut prouver pour utiliser ton argument et conclure, c'est que si A et B sont semblables alors $ ^{t}\bar A.A $ et $ ^{t}\bar B.B $ sont également semblables.
Verba volant, scripta manent.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. avr. 13, 2009 6:45 pm

Eti-N a écrit :
Thaalos a écrit :$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Ce qu'il faut prouver pour utiliser ton argument et conclure, c'est que si A et B sont semblables alors $ ^{t}\bar A.A $ et $ ^{t}\bar B.B $ sont également semblables.

Sauf que je ne suis pas sûr que ce soit vrai.
Je comptais éditer mon post une fois la justification trouvée, mais je n'ai pas encore réussi à en trouver une.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. avr. 13, 2009 6:48 pm

Thaalos a écrit :N:M_{n}(C) \rightarrow C
A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A)
C'est une norme car <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Est ce que ce que tu as écrit est une réponse valable selon toi ?
A* et B* ne sont pas semblable avec une même matrice de passage que celle de A vers B. Donc ton produit scalaire ne marche clairement pas.

( Enfin, vaut mieux se relire avant de poster! )
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. avr. 13, 2009 6:58 pm

Thaalos a écrit :Sauf que je ne suis pas sûr que ce soit vrai.
Je comptais éditer mon post une fois la justification trouvée, mais je n'ai pas encore réussi à en trouver une.


Vu les pistes choisies, je ne peux que donner une indication:
hint a écrit : La réponse est (naturellement) négative en dimension supérieure ou égale à 2. (si une telle norme éxistait, elle aurait été trop belle pour qu'on continue à travailler avec la norme usuelle). Le cas de la dimension 1 est sans intérèt ( Je ne connais pas beaucoup de complexes qui sont semblables ... toutes les normes marchent !).
Pour répondre dans le cas des dimensions supérieurs ou égales à 2:
Trouver un contrexemple (intelligent) en dimension 2 et l'adapter aux dimensions plus grandes.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. avr. 13, 2009 7:02 pm

Tu veux trouver un contre exemple ?
Comment trouver un contre exemple à une propriété qui utilise un il existe ?
À moins que ton contre exemple ne vise ma "norme", auquel cas on peut arrêter, elle est effectivement fausse.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Shindara » lun. avr. 13, 2009 7:07 pm

Vu comment la question est posée, on est tenté de répondre négativement.

hint a écrit :
Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme : il suffirait de trouver des matrices proportionnelles ( de coeff de proportionnalité de module différent de 1) semblables. Est-ce possible ? Que deviennent les valeurs propres d'une matrice quand on la multiplie par $ \lambda $ ? C'est donc foutu, sauf si les valeurs propres de la matrices sont toutes...nulles ! On va donc chercher dans les matrices nilpotentes. Bon je m'arrête la, il n'est pas difficile de trouver une telle matrice :D


Edit : Caché ma réponse pour ceux qui veulent chercher
Modifié en dernier par Shindara le lun. avr. 13, 2009 7:11 pm, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. avr. 13, 2009 7:10 pm

Thaalos a écrit :Comment trouver un contre exemple à une propriété qui utilise un il existe ?


Je n'ai pas été très explicite c'est vrai. Supposer qu'il existe une telle norme et trouver des matrices semblables pour lesquels, ça ne marche pas.

shindara a écrit :Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme


Par exemple :wink: .

La question n'est pas difficile si on prend le temps de lire l'énoncé, un minimum !
Modifié en dernier par colis le lun. avr. 13, 2009 7:22 pm, modifié 1 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. avr. 13, 2009 7:11 pm

Shindara a écrit :Vu comment la question est posée, on est tenté de répondre négativement.
Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme : il suffirait de trouver des matrices proportionnelles ( de coeff de proportionnalité de module différent de 1) semblables. Est-ce possible ? Que deviennent les valeurs propres d'une matrice quand on la multiplie par $ \lambda $ ? C'est donc foutu, sauf si les valeurs propres de la matrices sont toutes...nulles ! On va donc chercher dans les matrices nilpotentes. Bon je m'arrête la, il n'est pas difficile de trouver une telle matrice :D

Pourquoi forcément chez les matrices nilpotentes ?
Car deux matrices proportionnelles (avec le module du coeff de proportionnalité différent de 1) n'ont pas même trace donc ne sont pas semblables ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Shindara » lun. avr. 13, 2009 7:15 pm

Parce que multiplier une matrice par $ \lambda $ multiplie les valeurs propres par $ \lambda $, donc sinon $ M $ et $ \lambda M $ ont peu de chances d'être semblables...

@Thaalos : Certes, mais il n'y a pas que les matrices nilpotentes qui ont une trace nulle. Autant directement raisonner sur les valeurs propres, c'est plus fort, même si pas encore équivalent à la similitude.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. avr. 13, 2009 7:24 pm

Shindara a écrit :même si pas encore équivalent à la similitude.


Mais suffisant pour trouver ne serait ce qu'un seul contrexemple, ce dont on a besoin ici.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Shindara » lun. avr. 13, 2009 7:29 pm

colis a écrit :Mais suffisant pour trouver ne serait ce qu'un seul contrexemple, ce dont on a besoin ici.

Oui, oui, je m'amuse juste à faire des petits rappels, pour ceux que ça pourrait aider :)

Allez, un exo qui ne fait pas spécialement réviser le cours, mais qui fait appel à votre imagination.
On se place dans $ M_{n}(R) $. Quel est l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. avr. 13, 2009 7:34 pm

Shindara a écrit :On se place dans M_{n}(R). Quel est l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes

Les matrices de trace nulle (avant de fournir une preuve correcte... j'y travaille).
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » lun. avr. 13, 2009 7:38 pm

Un exo du genre, qui se résout bien en utilisant la densité de $ \displaystyle \mathcal{GL}_n(\mathbb{C}) $ dans $ \displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ :

Soit $ \displaystyle n\in\mathbb{N}^* $. Existe-t-il une norme sur $ \displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ telle que :
$ \displaystyle \forall A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;\forall P\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{C})\;\;\;\;||P^{-1}AP||=||A|| $ ?


Donc je propose pour l'exo de colis : ça n'existe que si n=1 et c'est la valeur absolue.

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