Exos sympas MP(*)

[Necklor]

Un que je pense intéressant même pour les MPSI qui ont fait la topologie de $ \mathbb{R}^{n} $ en cours :

Soit $ A $ une partie de $ \mathbb{R} $ dont chacun des points est isolé. Montrer que $ A $ est au plus dénombrable, c'est à dire finie ou équipotente à $ \mathbb{N} $.

Rappel : un point $ x $ de $ A $ est isolé dans $ A $ s'il existe un voisinage $ V $ de $ x $ tel que $ V \cap A =\{x\} $.

SPOILER:

A chaque élément x on considère une boule centrée en x qui ne contient aucun autre point de A, et dans cette boule on prend un rationnel qui sera associé à x

[leokent]

Un que je pense intéressant même pour les MPSI qui ont fait la topologie de $ \mathbb{R}^{n} $ en cours :

Soit $ A $ une partie de $ \mathbb{R} $ dont chacun des points est isolé. Montrer que $ A $ est au plus dénombrable, c'est à dire finie ou équipotente à $ \mathbb{N} $.

Rappel : un point $ x $ de $ A $ est isolé dans $ A $ s'il existe un voisinage $ V $ de $ x $ tel que $ V \cap A =\{x\} $.

SPOILER:

A chaque élément x on considère une boule centrée en x qui ne contient aucun autre point de A, et dans cette boule on prend un rationnel qui sera associé à x

La démo est simple mais cela n'empêche pas d'être rigoureux

SPOILER:

Si ta boule centrée en x ne rencontre aucun autre point de A, elle peut très bien rencontrer des boules centrées en d'autres points de A, ce qui peut poser problème pour montrer que ta fonction de A dans Q est injective.

[ØļivierŏđÐ]

Une démo un peu dans le même genre en utilisant la théorie de la sommabilité :
On associe à chaque élément de A une boule ouverte en prenant soin de prendre les boules deux à deux disjointes.
Sachant qu'une famille sommable de nombres non nuls est au plus dénombrable, on montre que pour tout entier relatif n, $ [n;n+1] \cap A $ est au plus dénombrable. En effet, en prenant la famille des diamètres des boules associées aux éléments de A, la somme de ces diamètres doit être finie.

Une réunion de déombrable étant dénombrable, on a le résultat.

C'est clairement pas une démo utile, mais je trouve ça assez sympa

[compol]

Bonsoir, voici un exercice posé à l'X cette année que je n'arrive pas du tout à faire:

Soit A et B 2 parties bornées d'intérieur non vide de R^n. On suppose de plus qu'elles sont convexes. On note $ A+B=\{z\in\mathbb{R}^n, z=a+b, (a,b)\in(A\times B) \} $
Montrer que $ Vol(A+B)^{1/n} \geq Vol(A)^{1/n} + Vol(B)^{1/n} $.

Je ne sais pas du tout comment faire. J'ai remarqué immédiatement que A+B était convexe et bornée d'interieur non vide. Et le cas n=1 est facile. Mais si n=2 par exemple je sais pas d'où peut venir cette propriété.
Merci d'avance.

[fakbill]

SPOILER:

ça c'est la "somme de Minkowski". C'est bien connu en traitement d'images.
Pour ce qui est de l'inégalité de Brunn-Minkowski il en existe une démo à base d'hypercubes...mais c'est tout sauf intuitifs si on ne connait pas...

[MATHADOR]

Voilà c'est à peu près ce que dit Necklor. Il faut utiliser le fait que $ \mathbb{Q} $ est dénombrable est dense dans $ \mathbb{R} $. Sinon désolé je ne connais pas encore la théorie de la sommabilité.

[compol]

Oui, je viens de trouver à l'instant cet article wikipedia qui en parle avec la démo: http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Minkowski C'est un peu étonnant qu'on puisse poser ce type d'exercice à l'oral. Après c'est sûr que c'est l'X ...

[fakbill]

C'est classique quand on parle de reconnaissance et de manipulation des formes en traitement d'image (la "Morphologie mathématique") mais c'est sûr que poser ça a un oral...

[Retard]

Non mais peu importe la difficulté de l'exo, l'examinateur n'attendait bien sûr pas que tu le résolves directement. Il attendait que tu donnes des idées et t'aurait donné des indications ou des questions intermédiaires au fur et à mesure de l'oral.

[bullquies]

c'est cela, oui. On nous a dit ça tout au long de l'année, mais on final les oraux c'est toi devant ton tableau à essayer de te démerder et l'examinateur qui ne dit rien du tout, VOIRE ton examinateur qui copie ce que tu écris au tableau, et uniquement ce que tu écris au tableau. (j'ai eu droit à une remarque comme ça à centrale)