Exos sympas MP(*)

[abouka]

Existe-il a_1, a_2, . . . , a_{n^2} ∈ R tels que toute matrice A∈M_n(R) obtenue en placant ces n^2 coefficients dans un tableau n×n soit inversible ? Peut-on le faire en choisissant a_1, a_2, . . . , a_{n^2} ∈ [1, 2] ?

[Isacu]

[quote="abouka"]Existe-il a_1, a_2, . . . , a_{n^2} ∈ R tels que toute matrice A∈M_n(R) obtenue en placant ces n^2 coefficients dans un tableau n×n soit inversible ? Peut-on le faire en choisissant a_1, a_2, . . . , a_{n^2} ∈ [1, 2] ?[/quote]


SPOIIIILLLLLLL !!!!!!!!!!! (vu que les balises ne marchent pas)

J'ai trouvé une méthode un peu bourrin consistant à prendre des réels qui ne s'atteignent pas entre eux par une simple addition/multiplication (1,sqrt(2),sqrt(3),..) c'est un peu bourrin (et surtout ne marche que dans R) donc il doit avoir une méthode plus subtile (parce que je suis presque sûr que ce résultat est aussi vrai dans Q

[V@J]

Tu peux procéder de manière analogue en posant $ a _i = 1+1/p_i $, où $ p_i $ est le $ i $-ème nombre premier.

[Isacu]

[quote="V@J"]Tu peux procéder de manière analogue en posant $ a _i = 1+1/p_i $, où $ p_i $ est le $ i $-ème nombre premier.[/quote]

Ah effectivement c'est pas mal, ça faisait un bout de temps que je cherchais un moyen de rentre linéairement indépendant dans Q (vu que c'est pas le premier exo du genre que je croise). Je te remercies du coup.

[Zetary]

Salut !

Voilà un exo cool (même si effectivement les balises spoil ne marchent plus) : montrer qu'un C-espace vectoriel normé privé d'un ensemble dénombrable reste connexe par arcs.

[Kallio]

En voilà un pas mal :
Soit A,B,C 3 matrices carrées de taille n à coefficients dans un corps K vérifiant AC = CB.
On note P_A le polynôme caractéristique de A (faute de balises).
Montrez que deg(PGCD(P_A,P_B)) >= rg(C).

[Leo11]

Salut, une proposition pour l'exo juste au-dessus.
On note r=rg(C). Alors C equivalente a J_n,n,r que l'on notera J. Donc on a P et Q inversible telles que C=PJQ
En remplacant dans AC=CB puis en multipliant a gauche par P^(-1) et a droite par Q^(-1) on obtient P^(-1)APJ=JQBQ^(-1)
En posant A'=P^(-1)AP et B'=QBQ^(-1) On a A'J=JB'
Puis en ecrivant A' et B' sous forme de matrice par bloc de telle sorte que le premier bloc (le bloc haut gauche quoi) soit de taille (r,r), on calcul le produit par bloc. On s'appercoit alors que A' et B' sont triangulaires superieures par blocs et que les blocs superieurs gauche de A' et B' sont égaux (dsl si c'est pas très clair, mais latex marche pas..). Ainsi, sachant que le polynome caracteristique d'une matrice triangulaire par bloc est le produit des polynomes caracteristiques des blocs diagonaux, il vient que que les polynomes caracteristique de A' et B' ont un facteur commun de degre r qu'on note R (qui est le polynome carac de la matrice haut gauche commune à A' et B'). Enfin, A et A' etant semblables et B et B' etant semblables, elles ont respectivement le même polynôme caracteristique. Donc R divise PGCD ( polynome carac de A , polynome carac de B ), d'où le résultat souhaité.

[Mathysique]

Bonsoir tout le monde, je suis tombé sur un exercice assez costaud je pense, dites moi ce qu'il vous inspire :
Montrez que l'ensemble des matrices M à coefficient dans C dont le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique est un ouvert, connexe par arc.
Bonne chance

[V@J]

Pour la connexité par arcs on s'en sort comme suit :
L'ensemble des matrices dont le polynôme caracteristique est scindé à racines simples est dense dans l'ensemble des matrices n x n à coefficients dans C, il est connexe par arcs, et il est inclus dans l'ensemble qui t'intéresse ; celui-ci est donc connexe par arcs.

Pour me caractère ouvert on s'en sort en montrant que l complémentaire, X, est fermé. On part d'une suite M_l convergente de matrices dans X. Il existe une suite de complexes R_l, d'entiers k_l et une famille orthonormée de k_l vecteurs éléments de ker(matrice - R_l Id)^(k_l-1). On en extrait une suite de matrices telle que R_l, k_l et les familles orthonormées convergent. La limite de M_l est donc bien dans X : CQFD.

[Mathysique]

Pour la connexité par arc, j'ai bien peur que vous démonstration soit fausse (mais je peux me tromper après tout) :
- ce n'est pas parce que A inclu B, et A connexe par arc que B est connexe par arc (exemple A = [1,2] et B = A U [3,4])
- de même, si on rajoute l'argument de densité de A dans B (exemple le graphe de sin(1/x) sur IR*)
C'est un peuplus compliqué que ça, malheuresement...

Quant à la suite de la question, j'ai peur de ne pas tout omprendre de ce que vous faites...