Je ne sais pas, je ne connais pas cette méthode, moi j'ai fait un pseudo algo de gramm-schmidt
Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Nothing happened.
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Re: Exos sympas MP(*)
Householder est une autre méthode d'orthogonalisation. Elle est en général introduite avec la décomposition A=QR (Q orthonormale R triangulaire supérieure). Elle a l'avantage d'être numériquement plus stable que Gram Schmidt et le désavantage d'être plus coûteuse en nombre d'opérations que Gram Schmidt.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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Re: Exos sympas MP(*)
Vous auriez un lien d'un cours qui en parlerai ? Ca a l'air interessant.matmeca_mcf1 a écrit : ↑18 mai 2018 14:09Householder est une autre méthode d'orthogonalisation. Elle est en général introduite avec la décomposition A=QR (Q orthonormale R triangulaire supérieure). Elle a l'avantage d'être numériquement plus stable que Gram Schmidt et le désavantage d'être plus coûteuse en nombre d'opérations que Gram Schmidt.
Par contre par rapport à l'exercice que vous avez énoncé plus haut, Je ne vois pas pourquoi schur implique 2/ ...
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Re: Exos sympas MP(*)
google est ton ami : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_QR
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
C'est très simple. Montrez que $ R $ est normale, ie, que $ R^{\textrm{H}}R=RR^{\textrm{H}} $. Ensuite regarder l'égalité pour les termes diagonaux.noro a écrit : ↑18 mai 2018 14:24Vous auriez un lien d'un cours qui en parlerai ? Ca a l'air interessant.matmeca_mcf1 a écrit : ↑18 mai 2018 14:09Householder est une autre méthode d'orthogonalisation. Elle est en général introduite avec la décomposition A=QR (Q orthonormale R triangulaire supérieure). Elle a l'avantage d'être numériquement plus stable que Gram Schmidt et le désavantage d'être plus coûteuse en nombre d'opérations que Gram Schmidt.
Par contre par rapport à l'exercice que vous avez énoncé plus haut, Je ne vois pas pourquoi schur implique 2/ ...
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Re: Exos sympas MP(*)
Nouvel exercice: il vient d'une olympiade. J'avais réussi à le résoudre en terminale mais cela m'avait pris du temps. En sup et a fortiori en spé, cela ne devrait poser aucune difficulté.
Soit $ 0<a<1 $ et $ 0<b<1 $ . Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $, la suite définie par
$$
u_0=a\\
u_1=b\\
u_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}})\quad\forall n\geq1
$$
Soit $ 0<a<1 $ et $ 0<b<1 $ . Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $, la suite définie par
$$
u_0=a\\
u_1=b\\
u_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}})\quad\forall n\geq1
$$
- Montrez que la suite est bien définie et que pour tout $ n\in\mathbb{N} $, $ 0<u_n<1 $.
- Montrez que la suite $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
- Montrez que la suite $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ est croissante à partir d'un certain rang.
Dernière modification par matmeca_mcf1 le 02 juin 2018 20:37, modifié 1 fois.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour Professeur , je crois que vous avez voulu écrire $ u_{n+2} $ en fonction de $ u_{n},u_{n+1} $ .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
matmeca_mcf1 a écrit : ↑02 juin 2018 19:13Soit $ 0<a<1 $ et $ 0<b<1 $ . Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $, la suite définie par
$$
u_0=a\\
u_1=b\\
u_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}})\quad\forall n\geq1
$$
Exo sympa , la première question semble sans difficulté majeure , voici ma proposition pour la convergence : on a une relation de type $ u_{n+1}=h(u_{n},u_{n-1}) $ , avec $ h(x,x)=\sqrt{x} >x ,~~ x \in [0,1] $ et
$ h(x,x) < x , ~~ x > 1 $ , on va montrer que $ u_{n} \to 1 $ .
En effet de l'encadrement plus tôt , on tire que $ h $ est continue $ (1,1) $ et $ h(1,1)=1 $ .
Définissons $ (v_{n}) $ de sorte que ; $ v_{0}=v_{1}=min(a,b) $ et $ v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) $ . pour $ n\geq 1 $ .
Comme $ min(a,b) < 1 $ on a :
$ v_{2}=h(v_{1},v_{0})=h(v_{1},v_{1}) > v_{1} $ ,
$ v_{3}=h(v_{2},v_{1}) > h(v_{1},v_{1}) =v_{2} $ , car $ h $ est croissante en chacune de ces variables
$ v_{4} =h(v_{3},v_{2}) > h(v_{2},v_{1})>v_{3} $ , de manière général $ v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) > h(v_{n-1},v_{n-2})=v_{n} $ donc $ (v_{n}) $ est croissante majorée par $ 1 $ donc convergente vers 1 , de plus on a $ v_{n} \leq u_{n} $ , on définit $ (w_{n}) $ de manière analogue ; mais avec $ w_{0}=w_{1}=max(a,b) <1 $ , une étude similaire amène a la convergence de $ (w_{n}) $ vers 1 , comme $ v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} $ , il n'en faut pas plus , sauf erreure .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Une tentative, un peu longue,
EDIT: J'avais pas vu que oty20 avait déjà envoyé sa solution, j'étais plongé dans la rédaction de ma preuve, sorry.
SPOILER:
Dernière modification par Errys le 03 juin 2018 00:50, modifié 1 fois.
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Ulm 2020-?
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Re: Exos sympas MP(*)
ouep , Remarque : si on admet la question 1) , pas besoin de $ w_{n} $ dans mon poste , $ v_{n} $ suffit .
Je pense d'ailleurs que c'est généralisable , pour $ u_{n}=h(u_{n-1},...,u_{n-k}) , n> k $
Je pense d'ailleurs que c'est généralisable , pour $ u_{n}=h(u_{n-1},...,u_{n-k}) , n> k $
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