Exos sympas MP(*)

[certus]

Celui est à faire en MP*

W l'ensemble des matrices nilpotentes de M(n,C)

P polynôme de C[X] , P(0)=0 , P'(0) différent de zéro

Montrer que P:W------>W est une bijection

[certus]

@Dattier 20/20

[nékicoul]

@Mathoss :

SPOILER:

Soit $n \in O$ dans l'ensemble des annulateurs de $0$, alors $f : A \rightarrow A$ $f(a)=a \times n$ avec$f$ est un morphisme de groupe pour l'addition,
et $\text{ker}f\subset O$ et $\text{Im} f \subset O$, donc $\text{card}(A)=o(\text{ker}f) \times o(\text{Im} f )\leq n \times n$

@Certus :

SPOILER:

si $P(X)=a_1X+...+a_{n-1}X^{n-1}$ polynôme complexe tel que $a_1\neq 0$ alors il existe $Q \in \mathbb C[X]$, tel que $P(Q(X)) \mod X^n=Q(P(X)) \mod X^{n}=X$, donc la fonction associé à $Q$ est la fonction réciproque de $P$ des nilpotents à valeurs dans les nilpotents

tu pe pa rédigé kom siméon la jconpren rien

[nékicoul]

siméon tu pe traduire STP

[GaBuZoMeu]

La solution de Dattier est inutilement compliquée : pas besoin de Cayley-Hamilton !

SPOILER:

La formule de la comatrice $$ M\,\text{com}(M)^{\mathsf T}=\det(M)\,I_n $$ montre que $ M\in \text{GL}_n(A) $ (le groupe des inversibles dans $ M_n(A) $) si $ \det(M)\in A^* $ (le groupe des inversibles de $ A $), et il est clair que c'est seulement si, car $ \det(MN)=\det(M)\det(N) $. Ensuite, puisque $ \det $ est un homomorphisme de $ \text{GL}_n(A) $ dans $ A^* $, l'image réciproque d'un sous groupe $ G $ de $ A^* $ par $ \det $ est un sous-groupe de $ \text{GL}_n(A) $

[oty20]

Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.

jolie pourquoi le simple fait d'avoir ajouter une hypothèse sur $ K $ donne autant d'information sur la fonction ?

soit $ x\in \mathbb{R} $ pour tout $ n \in \mathbb{N}^{*} $ on dispose de $ (a_{n},b_{n}) \in K $ de sorte que :

$ a_{n}x+b_{n}+\frac{1}{n} \geq \phi(x) \geq a_{n}x+b_{n} $ , comme $ K $ est compacte la suite $ (a_{n},b_{n})_{n\geq 1} $ admet au moins une valeur d'adhérence disons $ (a(x),b(x)) $ , il vient que $ \phi(x)=a(x)x+b(x) $ en faite toute valeur d'adhérence de la suite fournit une égalité du même type. De là je ne vois pas comment exploiter la convexité pour aller plus loin, y' a-t-il une histoire de transformé de Legendre derrière ?

une autre observation si par exemple $ \phi(x)=\max(mx+m', nx+n') $ avec $ m<n $, si $ (u,v) $ sont les coordonnées du point d'intersection des droites $ y=mx+m' $ et $ y=nx+n' $ , toute les droites de la forme $ y=v+t(x-u) ;~~m<t<n $ sont des minorants de $ \phi $

[darklol]

Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.

J’espère que cette preuve est juste (à peine quelques mois sans maths et déjà l’impression de n’en avoir jamais fait):

SPOILER:

Comme indiqué par Dattier, $\varphi$ est convexe comme $\sup$ de fonction convexes, donc dérivable à droite et à gauche en tout point (l'ensemble de départ $\mathbb{R}$ étant ouvert). On fixe $x \in \mathbb{R}$.

On note $A_x = \{ (a^*,b^*) \in K; a^*x + b^* = \varphi(x) \}$ qui est non vide par compacité de $K$. Pour tout $t > 0$ et $(a^*, b^*) \in A_x$, on a $\varphi(x + t) \geq a^*(x + t) + b^*$ par définition de $\varphi(x+t)$. Donc:
$\frac{\varphi(x + t) - \varphi(x)}{t} \geq \frac{a^*(x+t) + b^* - \varphi(x)}{t} = \frac{a^*(x+t) + b^* - a^*x - b^*}{t} = a^*$
donc en passant à la limite: $\varphi'_d(x) \geq a^*$ et ce pour tout $a^*$. De même, on obtient $\varphi'_g(x) \leq a^*$ pour tout $a^*$. Cela donne une condition nécessaire: si $\varphi$ est dérivable en $x$, alors nécessairement $|A_x| = 1$ (remarquons que $b^*$ est déterminé par $a^*$).

Réciproquement, on suppose que $A_x = \{(a^*, b^*)\}$. Soit $(t_n)$ une suite strictement positive qui tend vers $0$. Pour tout $n$, par définition de $\varphi(x + t_n)$ et comme $t_n^2 > 0$, il existe $(a_n, b_n) \in K$ tel que $\varphi(x + t_n) \geq a_n (x + t_n) + b_n \geq \varphi(x + t_n) - t_n^2$. Par continuité de $\varphi$ et théorème des encadrements, on a $a_n (x + t_n) + b_n \to \varphi(x)$. Quitte à extraire, on peut supposer que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent dans $K$ et on en déduit $(\lim a_n) x + \lim b_n = \varphi(x) = a^* x + b^*$ donc $\lim a_n = a^*$ par unicité. Enfin, on a:
$\frac{\varphi(x + t_n) - \varphi(x)}{t_n} \leq \frac{a_n(x+t_n)+b_n + t_n^2 - \varphi(x)}{t_n} \leq \frac{a_n(x +t_n) + b_n + t_n^2 - a_n x - b_n}{t_n} = a_n + t_n$
soit donc en passant à la limite: $\varphi'_d(x) \leq a^*$. On fait à peu près la même chose pour montrer que $\varphi'_g(x) \geq a^*$ ce qui conclut car pour une fonction convexe, $\varphi'_d(x) \geq \varphi'_g(x)$.

Conclusion: $\varphi'(x) = \text{argsup}\{ax + b | (a,b) \in K\}[0]$ là où ce $\text{argsup}$ est unique, et est non dérivable ailleurs.

[oty20]

Bonjour @darklol je suis passer par cette piste, du taux de variation... je vois mal pourquoi c'est les mêmes $ a^{*} $ que vous utilisez pour $ \phi(x+t) $ et $ \phi(x) $ vu que les $ a^{*} $ dépendent de $ x $ sauf erreur de ma part auquel cas je m'en excuse.

[darklol]

@oty20 $a^*$ est en effet lié à $x$, mais quand je parle de $\varphi(x+t)$, je n’écris que des inégalités qui viennent directement de la définition d’un sup (le couple $(a^*,b^*)$ étant dans ce cas là un élément de $K$ comme un autre). À aucun moment je ne parle d’éléments de l’ensemble que j’aurais noté $A_{x+t}$ (qui est en effet a priori différent de l’ensemble $A_x$).

[GaBuZoMeu]

Je reviens sur cet énoncé, pour en donner un plus général (et peut-être un peu plus clair) :
Si un ensemble de fonctions continues de $ [0,1] $ dans $ \mathbb R $ n'a pas de point d'accumulation pour la topologie de la convergence uniforme, alors il est de cardinal au plus dénombrable.
Indication : base d'ouverts formée des intersections finies de
$$ U(a,b,c,d)=\{ f\in C^0([0,1],\mathbb R)\mid \forall x\in [a,b]\cap [0,1]\ \ f(x)\in{]c,d[}\} $$pour $ a<b $ et $ c<d $ rationnels.