Exos sympas MP(*)

[GaBuZoMeu]

N'importe quoi ! Pourrais-tu arrêter tes délires, Dattier ?

[GaBuZoMeu]

J'ai indiqué plus haut comment l'absence de point d'accumulation entraîne la dénombrabilité pour une partie de l'espace des fonctions continues de $ [0,1] $ dans $ \mathbb R $. C'est classiquement lié au fait qu'on a une base dénombrable de la topologie.
Dattier avait posé un problème plus restreint (uniquement fonctions convexes, et valeurs dans $ [0,1] $). Peut-il expliquer en quoi ça simplifie la démonstration ? La démonstration du résultat général n'est pas très compliquée.
Un peu de mathématiques, ça nous changerait agréablement des délires.

[GaBuZoMeu]

Dattier : tu t'attribues des trucs absolument classiques. C'est un peu pénible de supporter ton ego surdimensionné, allié à une méconnaissance du sujet. Tu ferais bien de regarder cette page wikipedia sur les espaces séparables, par exemple.

Par ailleurs tu ne réponds absolument pas à ma question. Pourquoi insistes-tu sur la convexité dans la question que tu as posée dans ce fil ?

[GaBuZoMeu]

Pourquoi insistes-tu sur la convexité dans la question que tu as posée dans ce fil ?

[GaBuZoMeu]

La démonstration du résultat général que j'ai esquissée se fait entièrement à l'intérieur du programme de MP (y compris les notions nécessaires sur la dénombrabilité).
Maintenant, je suis curieux de savoir comment l'hypothèse de convexité des fonctions permet de simplifier drastiquement la démonstration. C'est ça que je te demande.

[GaBuZoMeu]

Comme très souvent, mis au pied du mur, tu te dérobes.
Tant pis pour toi, si jamais tu avais une idée intéressante.
PS. Je connais une démonstration assez simple d'un résultat plus général que celui de ta question sur ce fil (je ne prétends aucunement que cette démonstration soit originale, puisqu'il s'agit de choses bien classiques). Je m'en contente parfaitement.

[oty20]

@oty20 $a^*$ est en effet lié à $x$, mais quand je parle de $\varphi(x+t)$, je n’écris que des inégalités qui viennent directement de la définition d’un sup (le couple $(a^*,b^*)$ étant dans ce cas là un élément de $K$ comme un autre). À aucun moment je ne parle d’éléments de l’ensemble que j’aurais noté $A_{x+t}$ (qui est en effet a priori différent de l’ensemble $A_x$).

Ah oui! j'avais vite abandonné ce chemin à cause de cela, je sais pas pourquoi j'avais oublié que le sup était sur tous les couples dans $ K $, comme $ K $ est en particulier fermé, on pouvait avoir des inégalités en travaillant avec un seul couple.

Merci beaucoup et Bravo

Merci @Siméon pour ce jolie problème.

[oty20]

Vrai ou faux :

pour toute suite $ (x_{n})_{n\geq 1} $ de réels positifs tel la série $ \sum x_{n} $ est divergente, est-il-possible de trouver une sous-suite $ (x_{\phi(n)})_{n\geq 1} $ de sorte que $ \sum_{n=1}^{\infty} x_{\phi(n)}=+\infty $ et $ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\phi(n)} = 0 $ ?

[btsix]

Vrai ou faux :

pour toute suite $ (x_{n})_{n\geq 1} $ de réels positifs divergente, est-il-possible de trouver une sous-suite $ (x_{\phi(n)})_{n\geq 1} $ de sorte que $ \sum_{n=1}^{\infty} x_{\phi(n)}=+\infty $ et $ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\phi(n)} = 0 $ ?

SPOILER:

Vrai : $(x_n)$ ne converge pas vers $0$, donc il existe $\epsilon _{0} > 0$ et une extractrice $\psi$ tels que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $x_{\psi(n)} > \epsilon_{0}$. On a alors $\sum_{n=1}^{+ \infty} x_{\psi(n^2)} = + \infty$ et $\left |{\frac{n}{\psi(n^2)}} \right | \leq \frac{n}{n^2} \rightarrow 0$.

[oty20]

désolé c'est la série qui diverge et non la suite j'ai édité le problème.