Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
C'est peut-être vrai JeanN, je ne saurais alors expliquer pourquoi Frobenius me paraît tellement plus obscur que Jordan (pas les preuves)!
Elle me plaît bien cette preuve là , c'est très chic
Elle me plaît bien cette preuve là , c'est très chic
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
Re: Exos sympas MP(*)
Un exercice de théorie des groupes (l'indice est hors programme, mais pas violemment si?) assez joli:
Montrer qu'un sous-groupe de (Z^n,+) d'indice fini est isomorphe à (Z^n,+)
Montrer qu'un sous-groupe de (Z^n,+) d'indice fini est isomorphe à (Z^n,+)
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
Re: Exos sympas MP(*)
Hors-programme (résultat sur les modules libres finiment généré sur un anneau principal):
SPOILER:
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Exos sympas MP(*)
La première proposition topologique avait une faille, mais est-ce que on pourrait trouver une preuve topologique s'inscrivant bien dans le cadre de la prépa?
Je me demande si on peut pertinemment utiliser la densité de l'ensemble des matrices cycliques dans M_n(C)
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
Re: Exos sympas MP(*)
Bonsoir,
Pas besoin de parler de module de type fini sur un anneau principal !
Pas besoin de parler de module de type fini sur un anneau principal !
SPOILER:
Re: Exos sympas MP(*)
Comment démontres-tu cette densité ? Personnellement je ferais comme ci dessus avec des lambda assez petits...Mathoss a écrit : ↑14 févr. 2019 18:04La première proposition topologique avait une faille, mais est-ce que on pourrait trouver une preuve topologique s'inscrivant bien dans le cadre de la prépa?
Je me demande si on peut pertinemment utiliser la densité de l'ensemble des matrices cycliques dans M_n(C)
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos sympas MP(*)
Les matrices à polynôme caractéristique sans racine multiple sont cycliques, et l'ensemble de ces matrices est un ouvert dense puisque c'est le complémentaire du lieu d'annulation du discriminant du polynôme caractéristique.
Re: Exos sympas MP(*)
Comme l'a fait GaBu, et il s'agit d'un ouvert également puisque si on considère à M cyclique, il existe X tq B=(X,MX,...,M^n-1*X) soit une base de C^n, donc: det_B (B)=1
L'application A->det_B(X,AX,...,A^n-1*X) est continue (polynomial en les coefficients de A) et non nulle en M, donc non nulle sur un voisinage de M, c'est gagné!
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
Re: Exos sympas MP(*)
Excuse moi mais tu utilises quelle caractérisation, j'arrive pas bien à reconnaître la méthodeMathoss a écrit : ↑15 févr. 2019 07:19
Comme l'a fait GaBu, et il s'agit d'un ouvert également puisque si on considère à M cyclique, il existe X tq B=(X,MX,...,M^n-1*X) soit une base de C^n, donc: det_B (B)=1
L'application A->det_B(X,AX,...,A^n-1*X) est continue (polynomial en les coefficients de A) et non nulle en M, donc non nulle sur un voisinage de M, c'est gagné!
2017-2018 MPSI
2018-2019 MP
"Il n’y a qu’une façon d’échouer, c’est d’abandonner avant d’avoir réussi."
2018-2019 MP
"Il n’y a qu’une façon d’échouer, c’est d’abandonner avant d’avoir réussi."
Re: Exos sympas MP(*)
Définition : Un endomorphisme $ u $ d'un espace vectoriel $ E $ de dimension $ n $ est dit cyclique quand il existe un vecteur $ x \in E $ tel que $ (x,u(x),\ldots, u^{n-1}(x)) $ soit une base de $ E $.