Exos sympas MP(*)

[taupin295]

Définition : Un endomorphisme $ u $ d'un espace vectoriel $ E $ de dimension $ n $ est dit cyclique quand il existe un vecteur $ x \in E $ tel que $ (x,u(x),\ldots, u^{n-1}(x)) $ soit une base de $ E $.

Merci je ne savais pas ça déjà, mais c’est surtout le moment où on utilise la continuité du déterminant, et le fait qu’il soit non nul sur un voisinage de M. Cela permet de déduire que l’ensemble des matrices cycliques est st ouvert ?

[Mathoss]

Si sur un voisinage de M, la déterminant de la famille est non nul, ça signifie que (X,AX,...,A^n-1X) est une famille libre! Donc une base par maximalité

[taupin295]

Mais avec ça tu as montré que c’est un ouvert ou que l’ensemble est dense ?

[Mathoss]

Qu'il est ouvert donc.
Je n'ai pas redemontré la densité, je pensais qu'elle avait été montrée par Gabu.
Sinon, pour faire bref, une matrice diagonalisable possédant exactement n valeurs propres est cyclique (X1,...,Xn des vecteurs propres de M associés à λ1,...,λn, on considère alors: X=X1+..+Xn, le déterminant de X,MX,..,M^n-1*X dans X1,..,Xn est non nul puisqu'il s'agit d'un déterminant de Vandermonde et c'est donc une base!).
De plus, l'ensemble des matrices possédant exactement n valeurs propres est une partie dense de M_n(C) (très classique!), ce qui conclut!

[taupin295]

Merci beaucoup gabuzomeu et mathoss !

[Mathoss]

Un exercice récent d'oral:
Quelles sont les parties K de R telles que toute fonction f:K->R continue soit uniformément continue?

[JeanN]

Un exercice récent d'oral:
Quelles sont les parties K de R telles que toute fonction f:K->R continue soit uniformément continue?

Il n'est pas très récent : je l'ai déjà vu passer à l'X en 2005 ou 2006

[Mathoss]

Au temps pour moi j'étais persuadé du contraire
Reste plus qu'à le résoudre alors :oui:

[Chronoxx]

Un exercice récent d'oral:
Quelles sont les parties K de R telles que toute fonction f:K->R continue soit uniformément continue?

À première vue, je dirais toute union finie de singletons ?

[Mathoss]

Y a plein de choses qui viennent le contredire puisque Z convient, un segment [a,b] aussi