Exos sympas MP(*)

[oty20]

cela ne revient pas à choisir $x$ tel que $\cos(x)$ est transcendant ?

puisque $\cos(nx)$ est un polynôme à coeffs rationnels en $\cos(x)$ .

[Mathoss]

J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).

[matmeca_mcf1]

J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).

Ce n'est pas évident. J'ai réfléchi un peu et je n'ai pas la solution. Je dirais qu'il faut essayer de multiplier $ P $ et $ \tilde{P} $, puis faire le lien avec les polynômes symétriques. Comme $ \cos(kt) $ peut s'écrire comme une combinaison linéaire des $ \cos^j(t) $, cela donne bien un polynôme de degré $ 2n $ en $ \cos(t) $ mais malheureusement ce polynôme n'est pas forcément symétrique.

Si on avait $ \cos^k(t) $ au lieu de $ \cos(kt) $ dans l'énoncé, cela donnerait des polynômes symétriques en $ \cos(t) $ et on pourrait conclure puisque pour un polynôme symétrique $ x $ est racine si et seulement si $ 1/x $ est racine donc la moitié des racines ne peut être solution de $ \cos(t)=x_i $ (il faudrait traiter le cas particulier des racines 1 et -1 autrement en observant que $ \cos(t)=\pm1 $ n'a qu'une solution dans $ [0,2\pi[ $).

Il y a peut-être une transformation, ou un changement de variable qui permette de se ramener à un polynôme symétrique de degré 2n en autre chose que $ \cos(t) $ ou un concept plus général que celui des polynômes symétriques.

[kakille]

Bonjour,

soit $a$ un réel dans $]0,\pi[$. On admet qu'il existe une unique fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f''+\sin f=0, f(0)=a$ et $f'(0)=0$. Montrer que $f$ est périodique.

[donnerwetter]

Il suffit de montrer qu'il existe x>0 tel que f(x)=-a et f'(x)=0 car alors g(t):=-f(t+x) vérifie l'ed et les ci donc g=f donc f(t+2x)=f(t+x+x)=-f(t+x)=f(t) donc f périodique.
Aussi on remarque que f''+sinf=0 => f'f"+f'sinf=0 => 1/2(f'^2)'=(cosf)' => f'^2=2(cosf-cos(a)) en utilisant les conditions en 0. Donc cosf>=cos(a) donc |f|<=a par tvi. Du coup il suffit de trouver x tq f(x)=-a car nécessairement on aura f'(x)=0.
Maintenant il existe un voisinage de 0 dans R+ sur lequel f est positive, donc en intégrant l'ED il vient f'(t)=- $ \int_0^t sin(f) $ <0 sur ce voisinage. Soit x maximal tel que f soit décroissante sur [0,x]. Montrons que x est fini : dans le cas contraire f étant bornée et décroissante elle tend vers un certain l en l'infini, et on montre que f' et f'' tendent vers 0 (la limite existe et si elle est non nulle il suffit d'intégrer les relations d'équivalence pour avoir des contradictions). l est non nul car sinon f>0 sur R+ et donc f'(t)<$ - \int_0^1 sin(f(u))du $ ne tend pas vers 0. Mais alors par continuité en utilisant l'ED f''(t) tend vers sin(l) non nul, contradiction. Donc f'(x)=0 i.e. en utilisant la relation sur f'^2 trouvée au début, cos(f(x))=cos(a) donc f(x)=-a.

[kakille]

Bonjour donnerwetter,

merci pour cette réponse. C'est un peu trop elliptique à mon goût (la définition de $x$, qui est l'objet crucial dans ton raisonnement, pourrait-elle être précisée ?).

[kakille]

Bonjour,

on considère $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées définies sur un espaces probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ telle que $P(X_n=1)=P(X_n=-1)=1/2$ pour tout entier strictement positif $n$. On définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ pour tout entier strictement positif $n$. Soit $x$ un entier positif. Montrer que lorsque $n$ tend vers l'infini on a l'équivalent
$$
P(x+S_1\geq 0\cap \ldots \cap x+S_n\geq 0)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+1)\frac{1}{\sqrt{n}}.
$$

[donnerwetter]

Bonjour donnerwetter,

merci pour cette réponse. C'est un peu trop elliptique à mon goût (la définition de $x$, qui est l'objet crucial dans ton raisonnement, pourrait-elle être précisée ?).

Désolé je ne suis plus en prépa et j'ai un peu perdu la patte au niveau de la rédaction, je n'ai pas développé les points qui me paraissaient évidents (par souci de concision aussi)...
x = sup{t>0, f'(u)<0 sur ]0,t[} donc l'existence est garantie par le fait que a>f>0 sur un voisinage de 0 donc sin(f)>0 sur ce voisinage et donc f' y est strictement négative.

[V@J]

J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).

En tout cas, la question b) est incorrecte, puisque, pour n=1, notre fonction n'aura jamais plus de deux zéros, et qu'elle n'en aura aucun si $ X_0 > X_1 > 0 $.

[oty20]

L' énoncé est tiré d’où ?