Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
colis

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 17 avr. 2009 17:23

V@J: Bravo, c'est vraisemblablement correct à la bonne écriture près $ \sqrt{\frac{ln(n)}{n}} $.
J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur). :D

-guigui-

Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 17:27

Ah Maple le fourbe :lol:

( juste pour préciser, mais ce n'est qu'une coquille dans le post de V@J : on a $ \displaystyle d_n\sim\sqrt{\frac{\ell n(n)}{n}} $ (le n est sous la racine aussi) )

Merci à vous deux d'avoir cherché :wink:

V@J

Messages : 2811

Inscription : 22 janv. 2009 17:15

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 17 avr. 2009 17:48

Autre exo beaucoup plus facile que le premier que j'ai posté :

Montrer que les sous-anneaux unitaires de $ \mathbb{Q} $ sont de la forme $ \mathbb{Z}[F] $ avec $ F \subseteq \{\frac{1}{p} | \ p \ premier\} $.

colis

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 17 avr. 2009 17:55

Ah, j'avais pas pensé utiliser le fait les sous anneaux de $ \mathbb{Q} $ sont les $ \mathbb{Z}[F] $ pour résoudre ton premier exo. Merci pour l'indication.

-guigui-

Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 18:04

colis > trop tard j'ai vu ce que tu attends comme petit cadeau ^^ Deux exos sur les séries, le premier assez simple, le deuxième un brin plus ardu, mais vous allez les torcher!
Soit $ \displaystyle p_n $ le nombre de chiffres dans l'écriture de l'entier $ \displaystyle n $ en base $ \displaystyle 10 $.
Nature et somme éventuelle de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge1}\frac{p_n}{n(n+1)} $
Nature de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $
En plus c'est des classiques.

Sinon, des exos de MP que je ne saurais pas résoudre :( (mais je dispose des solutions ..)
On note $ \displaystyle p(n) $ le plus grand diviseur premier de $ n $.

Montrer que la série $ \displaystyle\sum_{n\ge 1} \frac{1}{np(n)} $ converge.
On considère la suite $ \displaystyle (\lambda_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ croissante des racines réelles positives de l'équation $ \displaystyle \tan(x)=x $.

Montrer que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=\frac{1}{10} $

Messages : 1832

Inscription : 01 août 2007 15:04

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 17 avr. 2009 18:06

Un exo choupi :
- Soit $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ une suite à valeurs dans $ [0,1] $. A quelle condition (NS) $ (.|.) $ défini par $ (f|g) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(a_{n})g(a_{n})}{2^{n}} $ est-il un produit scalaire sur $ E = C^{0}([0,1],\mathbb{R}) $?
- Soient $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ et $ (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ deux suites qui vérifient cette condition, montrer que les normes associées sont équivalentes => $ \{a_{n}, n\in \mathbb{N} \} = \{b_{n}, n \in \mathbb{N} \} $
- $ (E,\sqrt{(.|.)}) $ est-il complet?
Doctorant Maths-Info, ancien ENS Cachan.

-guigui-

Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 18:08

Le premier : il faut et il suffit que la suite (a_n) soit dense dans [0,1], me trompé-je ? :)

Messages : 1832

Inscription : 01 août 2007 15:04

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 17 avr. 2009 18:23

tu ne te trompé-je pas :)
La suite? :D
Doctorant Maths-Info, ancien ENS Cachan.

V@J

Messages : 2811

Inscription : 22 janv. 2009 17:15

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 17 avr. 2009 19:47

Question 2 :

On suppose que $ a_n \notin \{b_k \ | \ k \in \mathbb{N} \} $. Soit $ m \in \mathbb{N} $, puis $ \Omega \subseteq [0,1] $ un intervalle ouvert tel que $ a_n \in \Omega $ mais, $ \forall \ k \leq n+m, \ b_k \notin \Omega $. Soit $ \varphi \in C^0([0,1],\mathbb{R}) $ à support dans $ \Omega $ telle que $ 0 \leq \varphi \leq 1 $ et $ \varphi(a_n) = 1 $.
Alors on a $ (\varphi|\varphi) \geq 2^{-n} $ avec la première suite, et $ (\varphi|\varphi) \leq 2^{-(n+m)} $ avec la deuxième : les normes associées ne sont pas équivalentes.

Question 3 :

L'espace en question ne semble vraiment pas complet !

Madec

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Madec » 17 avr. 2009 23:05

V@J a écrit :Question 2 :

On suppose que $ a_n \notin \{b_k \ | \ k \in \mathbb{N} \} $. Soit $ m \in \mathbb{N} $, puis $ \Omega \subseteq [0,1] $ un intervalle ouvert tel que $ a_n \in \Omega $ mais, $ \forall \ k \leq n+m, \ b_k \notin \Omega $. Soit $ \varphi \in C^0([0,1],\mathbb{R}) $ à support dans $ \Omega $ telle que $ 0 \leq \varphi \leq 1 $ et $ \varphi(a_n) = 1 $.
Alors on a $ (\varphi|\varphi) \geq 2^{-n} $ avec la première suite, et $ (\varphi|\varphi) \leq 2^{-(n+m)} $ avec la deuxième : les normes associées ne sont pas équivalentes.

Question 3 :

L'espace en question ne semble vraiment pas complet !
V@J pour ton exemple ,la non équivalence des normes à partir de :
N1(PHI) =< 2^-(n+m)
2^(-n) =< N2(PHI)
n'est pas si évidente non ?

Répondre