Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
$ $Bien sûr je parle du pgcd polynomilale canonique, dans l'anneau principal $\mathbb Q[x] $, définit à une constante rationnelle multiplicative pré.
Une racine complexe
Soit $P\in \mathbb R_+[x] $ avec $deg(P) =n\geq 2$, $coeff(P, n-1)=0$ et $P(0)>0$.
A-t-on il existe $c\not \in \mathbb R $ tq $P(c) =0$?
Une racine complexe
Soit $P\in \mathbb R_+[x] $ avec $deg(P) =n\geq 2$, $coeff(P, n-1)=0$ et $P(0)>0$.
A-t-on il existe $c\not \in \mathbb R $ tq $P(c) =0$?
Re: Exos sympas MP(*)
Si P est tel que son coeff n-1 e est nul, alors la somme de ses racines est nulle via les relations coefficients racines. Or il est clair que P n'a pas de racines dans R+, puisqu'à coefficients positifs avec a0>0.
P ne peut donc pas avoir que des racines réelles négatives et admet une racine complexe non réelle au moins (en fait deux au minimum puisqu'il est réel) d'où le résultat d'après D'alembert Gauss.
P ne peut donc pas avoir que des racines réelles négatives et admet une racine complexe non réelle au moins (en fait deux au minimum puisqu'il est réel) d'où le résultat d'après D'alembert Gauss.
Re: Exos sympas MP(*)
Pourquoi?
En effet on pourrait très bien avoir un nombre paire de racines dans $\mathbb R_+^*$ et le reste des racines négatives non nulles.
Re: Exos sympas MP(*)
M'enfin, Dattier-Contrexemple ? Tu ne vois pas qu'un polynôme à coefficients réels positifs ou nuls et coefficient constant strictement positif ne peut pas avoir de racine réelle positive ou nulle ?
Moins évident : le nombre de racines strictement positives d'un polynôme à coefficients réels est majoré par le nombre de changements de signe dans la suite de ses coeffcients (règle des signes de Descartes).
Moins évident : le nombre de racines strictement positives d'un polynôme à coefficients réels est majoré par le nombre de changements de signe dans la suite de ses coeffcients (règle des signes de Descartes).
Re: Exos sympas MP(*)
Tu sembles ne pas savoir que l'anneau factoriel $ \mathbb Z[X] $ a des pgcd, définis à un inversible près de $ \mathbb Z[X] $ et donc en fait au signe près.Contrexemple a écrit : ↑14 mars 2022 23:35$ $Bien sûr je parle du pgcd polynomilale canonique, dans l'anneau principal $\mathbb Q[x] $, définit à une constante rationnelle multiplicative pré.
L'équivalence pourrait être formulée correctement ainsi : deux polynômes $ P $ et $ Q $ de $ \mathbb Z[X] $ ont un pgcd de degré 0 si et seulement si l'ensemble des pgcd de $ P(n) $ et $ Q(n) $, où $ n $ parcourt l'ensemble des entiers naturels, est contenu dans l'ensemble des diviseurs d'un entier >0.
J'ai déjà donné l'argument pour l'implication de la première propriété à la deuxième. Dans l'autre sens, il suffit de remarquer que si le pgcd (de coefficient dominant >0) de $ P $ et $ Q $ dans $ \mathbb Z[X] $ est $ D $, alors $ D(n) $ est un diviseur commun de $ P(n) $ et $ Q(n) $ pour tout entier $ n $ et que si $ \deg(D)>0 $, alors $ D(n) $ tend vers l'infini avec $ n $.
Re: Exos sympas MP(*)
Contrexemple a écrit : ↑04 mars 2022 13:23
Si vous avez le niveau agreg et que vous voulez quelques choses de difficiles :
https://mathoverflow.net/questions/2739 ... it-abelian
https://mathoverflow.net/questions/3534 ... l-of-sqrt2
PS : je ne sais qu'un énoncé est difficile que lorsqu'il résiste...
Re: Exos sympas MP(*)
Le problème, c'est que tu n'as vraisemblablement pas de solution à ces problèmes qui tienne la route.
Re: Exos sympas MP(*)
Je ne suis pas sûr de comprendre. Si le polynôme P est à coefficients dans R+, P-a0 aussi, et donc P-ao est positif sur R+, puis P>=a0>0 sur R+, donc P n'admet pas de racines sur cet intervalle.Contrexemple a écrit : ↑15 mars 2022 09:19Pourquoi?
En effet on pourrait très bien avoir un nombre paire de racines dans $\mathbb R_+^*$ et le reste des racines négatives non nulles.
Re: Exos sympas MP(*)
Le Graal de l'analyse ?
Existe-t-il $f\in C([0,1],[0,1])$ tel que $\exists c\in [0,1], \{f^n(c),n\in\mathbb N\}$ est dense dans $[0,1]$ ?
avec $f^2=f \circ f $
Existe-t-il $f\in C([0,1],[0,1])$ tel que $\exists c\in [0,1], \{f^n(c),n\in\mathbb N\}$ est dense dans $[0,1]$ ?
avec $f^2=f \circ f $