Exos sympas MP(*)

[Contrexemple]

Les fonctions pseudo-périodiques.

Soit $f$ fonction réelle, $f$ est pseudo périodique s'il existe $g$ fonction réelle, qui ne soit pas l'identité, telle que : $\forall x \in \mathbb R, f(x) =f(g(x)) $.

1) Existe-t-il des fonctions pseudo-périodiques, sur $\mathbb R$ qui ne soient pas périodique ?

[Inversion]

Pour g(x)=2x on peut trouver f non périodique qui fonctionne.

[Contrexemple]

Sur $\mathbb R$?

[Inversion]

Oui

[Contrexemple]

Alors f ne peut être continue, sans cela elle serait constante, donc périodique.

[Inversion]

Oui mais il n'y a pas d'hypothèse de continuité dans ton énoncé

[Contrexemple]

Tout à fait, c'est l'objet de la deuxième question.

https://mathoverflow.net/questions/4160 ... 291_416027

[Inversion]

Qui a d'ailleurs été traitée avec brio par un sympathique contributeur de ce forum anglophone. J'attends avec impatience que tu rajoutes l'hypothèse g différent de -id.

[Contrexemple]

C'est fait.

[Inversion]

Je crois qu'il y a une infinité de solutions avec f=g même avec tes contraintes.