Exos sympas MP(*)

[colis]

cherchez mon exo précédent (si je n'ai pas encore mis n'importe quoi, il est formateur)

Ca fait partie des incontournables de la sup .

[V@J]

Autre exo sympa :
Montrer que $ SL_n(\mathbb{Z}) = \{M \in M_n(\mathbb{Z}) | det(M) = 1\} $ est un groupe.

Edit : Si je ne m'abuse, on peut généraliser ce résultat à
Si $ (\mathbb{A},+,\times) $ est un anneau commutatif et $ (G, \times) $ un groupe avec $ G \subset \mathbb{A}^\ast $, alors $ \{M \in M_n(\mathbb{A}) | \det(M) \in G \} $ est un groupe...

[Dadin]

en réfléchissant un peu le résultat juste est en fait M=tr(M)/n In + une matrice de trace nulle

Juste pour revenir dessus, il y'a aussi la Décomposition de Gauss-Jordan qui dit que toute matrice peut-être réduite en somme UNIQUE d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente.
Donc je peux me tromper mais l'unicité de la déomposition me fait douter de ce résultat koala.

[V@J]

Non, $ M=\frac{tr(M)}{n} I_n $ + une matrice de trace nulle est un résultat assez évident :
si tu poses $ A = M-\frac{tr(M)}{n} I_n $, alors $ tr(A) = tr(M)-\frac{tr(M)}{n} tr(I_n) = 0 $ et $ M =\frac{tr(M)}{n} I_n + A $, avec $ A $ de trace nulle...

[Dadin]

Effectivement, j'avais mal lu J'ai cru qu'on réduisait la matrice, alors que non :]

[colis]

Autre exo sympa :

Que veux tu dire par sympa ? intéressant ou facile ?

Le point intéressant est que l'inverse d'une matrice de Sl_n(Z) est dans Sl_n(Z) car c'est la transposé de sa comatrice.

Ou bien tu parles de la généralisation ...

[V@J]

J'aime bien l'arithmétique, donc, ici, sympa = qui donne un joli résultat. En plus, je suis tombé trois fois dessus au concours (une fois à l'écrit, deux à l'oral), donc c'est aussi un exercice utile.
Quant à la généralisation, c'est juste que je me suis demandé, en réécrivant le problème, pourquoi fixer le déterminant égal à un fournissait un résultat convenable, et dans quelle mesure on pouvait se permettre des choix de déterminants un peu plus larges. J'espère au moins que ma généralisation est vraie, mais j'ai la flemme de vérifier posément en écrivant tout cela.

[dSP]

en réfléchissant un peu le résultat juste est en fait M=tr(M)/n In + une matrice de trace nulle

Juste pour revenir dessus, il y'a aussi la Décomposition de Gauss-Jordan qui dit que toute matrice peut-être réduite en somme UNIQUE d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente.

Laissez Gauss tranquille, il ne savait pas ce qu'est une matrice (encore moins une matrice nilpotente).

La décomposition de Jordan/Dunford dit que toute matrice trigonalisable se décompose de manière unique en somme
d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente qui commutent.

[Shindara]

Pour V@J : J'ai du mal avec ta généralisation.
D'une part je ne la trouve pas très intéressante (mais bon c'est un avis personnel qui n'engage que moi ) au sens ou ce résultat ne me semble pas très parlant et trop particulier...
D'autre part, j'ai du mal à trouver des cas particuliers pour essayer de rentrer dans le problème. Ton anneau, faut que tu le prennes dans un corps non ? Par exemple, si je me place dans $ \mathbb{Z}/6 \mathbb{Z} $ le problème n'a plus de sens ?
J'ai essayé dans $ \mathbb R $, mais j'arrive pas à trouver un sous anneau qui contient des sous groupes multiplicatifs, autre que $ \{1\} $ et $ \{1,-1\} $. Si tu pouvais m'indiquer des cas particuliers que tu as essayé, histoire que j'arrive à faire quelque chose

[Thaalos]

Soit $ \displaystyle \rm A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $.
$ \displaystyle\fbox{*} $ Montrer que A est nilpotente si et seulement si $ \displaystyle\rm{tr(A)=tr(A^2)=...=tr(A^n)=0} $
(facile, pour se chauffer )
$ \displaystyle\fbox{*} $ On suppose $ \displaystyle\rm{tr(A)=tr(A^2)=...=tr(A^{n-1})=0} $ et $ \displaystyle\rm{tr(A^n)\not=0} $. Montrer que $ \displaystyle\rm{A} $ est diagonalisable.

Je ne vois pas en quoi cet exo est le même que celui proposé par colis.
Il se base sur les matrices nilpotentes aussi, mais pour résoudre l'exo de colis (le premier du sujet), je ne crois pas que les résultats de ces deux questions soient nécessaires.