Exos sympas MP(*)

[Contrexemple]

@Inversion : Quel est le problème ?

Tous les exos que je propose peuvent être résolues à partir du programme de MP en une dizaine de lignes.

[Inversion]

Une inégalité bizarre

...

$ $
On peut choisir $g$ suffisamment convexe pour que $\phi : u \in [0,1] \mapsto g(\sqrt{1-u^2})$ soit elle-même convexe. A partir de là on peut choisir $f=\phi$ si bien que pour tout $x$ entre $0$ et $1$, $f(|\sin(\frac{1}{x})|)=g(|\cos(\frac{1}{x})|)$. En mettant cette expression de $f$ dans l'inégalité, on peut voir l'inégalité comme une inégalité de Jensen intégrale dans le mauvais sens. Donc non.

[Contrexemple]

Je donnerais ma réponse dans la semaine et ce n'est pas la même que la tienne.

[Inversion]

Au sens où tu as démontré que l'inégalité était correcte ? C'est possible que j'aie écrit une bêtise ça m'arrive régulièrement

[Contrexemple]

Oui, mais je n'ai pas encore rédigé ma solution, donc possible que je me trompe également.

[Inversion]

Ok j'attendrai de voir ta solution de toute façon, mais check bien que t'as mis l'inégalité dans le sens que tu voulais (même si l'autre sens me paraît également incorrect)

[Contrexemple]

SPOILER:

Comme $f, g$ paires on a $f(\sin(1/x))=f(|\sin(1/x)|)=a(x) $ et $g(\cos(1/x))=g(\sqrt{1-|\sin(1/x)|^2})=b(x) $

On a $f, g$ croissantes sur [0,1] et $h(x)=g(\sqrt{1-x^2})$ est décroissante sur [0,1].

Donc $\forall (u, v) \in [0,1]^2, (f(u) - f(v)) \times (h(u) - h(v)) \leq 0$

On prend $u=|\sin(1/x)|$ et $v=|\sin(1/y)|$

Alors $$\int_0^1 \int_0^1 (a(x) - a(y)) (b(x) - b(y)) dxdy \leq 0$$

D'où le résultat.

[Inversion]

Dans ton énoncé tu avais marqué que f et g étaient convexes et non croissantes...

[Contrexemple]

f et g sont paires et convexes, donc croissantes sur [0,1].

[Inversion]

Oui je me suis trompé j'ai fait comme si la fonction était convexe sur R+ seulement dans mon raisonnement désolé