Exos sympas MP(*)

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Thaalos
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » mer. avr. 15, 2009 4:39 pm

J'ai un exo assez (hyper) classique que j'avais eu en Kholle cette année :

Montrer que si A($ \in M_n(\mathbb{R}) $) est semblable à B($ \in M_n(\mathbb{R}) $) dans $ M_n(\mathbb{C}) $ elle est semblable à B dans $ M_n(\mathbb{R}) $.

Je ne sais pas s'il est jugé facile ou pas, moi j'avais bien ramé, parce qu'on ne l'avait pas encore revu en exercice cette année (on l'a vu après), et que je ne me rappelais de rien de l'année précédente.

Un autre assez sympa (mais probablement facile lui) est :
Montrer que $ 2 | dim(E) \Leftrightarrow \exists u \in L(E), Ker(u) = Im(u) $.
Modifié en dernier par Thaalos le mer. avr. 15, 2009 4:55 pm, modifié 2 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » mer. avr. 15, 2009 4:50 pm

Tu as oublié de préciser que A et B doivent être réelles :-)
Sinon, ces deux exercices sont effectivement de grands classiques, et le deuxième est beaucoup plus facile que le premier (surtout la première fois qu'on les voit !)

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Thaalos
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » mer. avr. 15, 2009 4:56 pm

En effet, erreur corrigée ! ^^
Le deuxième a un sens évident, l'autre est peut-être un peu plus dur.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » mer. avr. 15, 2009 5:13 pm

Sinon, voici un exo un peu trash. Pas forcément intéressant, mais un peu dur. :twisted:

On considère le groupe additif $ G = \mathbb{Z}^\mathbb{Z} $ des applications de $ \mathbb{Z} $ vers $ \mathbb{Z} $, ainsi qu'un sous-groupe H de G, défini par $ H = \{f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \ | \ \exists K \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{Z}, |n| \geq K \Rightarrow f(n) = 0 \} $ : H est le sous-groupe des fonctions à support compact.
Soit maintenant $ \mathbb{A} $ un sous-anneau unitaire de $ \mathbb{Q} $ et deux entiers a et b premiers entre eux, tels que $ \mathbb{A} \cap \{a^{-1},b^{-1}\} = \emptyset $.
Montrer que le seul morphisme de groupes additifs $ \varphi : G \rightarrow \mathbb{A} $ tel que $ H \subset \ker \varphi $ est le morphisme nul.

colis : J'ai édité le message, il y avait une coquille...
Modifié en dernier par V@J le jeu. avr. 16, 2009 2:31 am, modifié 4 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » mer. avr. 15, 2009 5:49 pm

V@J: tu voulais peut-être dire "tel que $ \varphi_{|H}=0 $ ", non ???
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Message par Thaalos » mer. avr. 15, 2009 8:39 pm

Effectivement, l'énoncé fait peur. :(
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par LB » mer. avr. 15, 2009 9:09 pm

Ça m'a l'air très puissant !
En gros il suffit de priver le sous-anneau à l'arrivée des inverses de deux entiers premiers entre eux pour qu'un morphisme qui annule les fonctions à support compact, annule finalement tout.

Bon, par contre, j'ai pas envie d'y réfléchir et pour une fois vais sagement attendre que quelqu'un s'en charge. C'est les vacances après tout :mrgreen:
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Watza » jeu. avr. 16, 2009 1:05 am

L'anneau est supposé unitaire ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » jeu. avr. 16, 2009 1:24 am

Je crois que maintenant les anneaux sont par définition unitaires, contrairement à il y a quelques années.
S'il ne l'est pas, on parle de pseudo-anneau.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par LB » jeu. avr. 16, 2009 2:56 am

"Quelques années", ça remonte quand même à Bourbaki :lol:. Mais il y a encore beaucoup de gens qui ne les prennent pas unitaires il me semble.
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Message par Thaalos » jeu. avr. 16, 2009 1:22 pm

C'est dans les années 60 non ?
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Message par -guigui- » jeu. avr. 16, 2009 2:21 pm

colis > Je n'ai réussi que la première question (en utilisant le déterminant de Vandermonde, j'étais content).

Autre exercice, que je trouve zoli :

Soit $ \displaystyle (\Gamma_n) $ le graphe de la fonction $ \displaystyle f_n : x \mapsto \cos^n(x) $. Soit $ \displaystyle d_n=d(O,\Gamma_n) $. Trouver un équivalent simple de $ \displaystyle d_n $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Madec » jeu. avr. 16, 2009 10:04 pm

Thaalos a écrit :C'est dans les années 60 non ?


Le travail du groupe Bourbaki a commencé avant les années 60 .
Par contre son influence sur l'enseignement général en lycée date effectivement des années 60 (plutôt la fin des années 60 d'ailleurs) c'est ce qu'on a appelé l'introduction des Maths Moderne avec tout le formalisme qui allait avec et en particulier l'introduction très tôt des structures .
Par exemple Je me souviens en 6 ième avoir eu l'introduction des relations d'équivalence sur un ensemble et l'ensemble quotient .
Autant dire qu'après le CM2 où l'on travaillait à calculer le temps pour vider des baignoires et faire croiser des trains , cela décoiffait un peu ...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » ven. avr. 17, 2009 2:41 am

Beaucoup même.
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colis
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » ven. avr. 17, 2009 3:34 pm

guigui a écrit :Soit $ \displaystyle (\Gamma_n) $ le graphe de la fonction $ \displaystyle f_n : x \mapsto \cos^n(x) $. Soit $ \displaystyle d_n=d(O,\Gamma_n) $. Trouver un équivalent simple de $ \displaystyle d_n $.


QCM (au choix)

a°) $ e^{-\frac{1}{2}}(1+\frac{e+\frac{1}{2}}{2n}) $ ou b°) $ \frac{180}{\pi}\sqrt{\frac{2}{n}} $ Laquelle est la plus proche du résultat ?

Maple me donne la première valeur a°) (la limite de d_n n'est même pas 0 alors ! :evil: ). En bidouillant j'obtiens b°) qui est plus cohérent (d_n semble tendre vers 0 après quelques tracés de courbes, puis on voit que 180 et $ \pi $ apparaissent et bizarrement 180 °= $ \pi $ rad 8) )

Méthode: $ d_n^2 $ est le min de $ g_n(x)=x^2 + cos^{2n}(x) $ puis on étudie cette fonction...

A l'aide guigui !, comment as-tu fait ? En quoi l'exo est-il "zolie" (tout ce que j'ai fait est très moche, même si je sais que c'est complètement faux :mrgreen: )???
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