Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Antoine-
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Antoine- » lun. avr. 10, 2017 10:18 am

SPOILER:
Si je ne me suis pas trompé en transposant :
\( (A^{t}AA^{t}A)A = I_n \) donc \( A = (A^{t}AA^{t}A)^{-1} \). En transposant l'égalité de l'énoncé, on trouve aussi \( ^{t}A = (A^{t}AA^{t}A)^{-1} \). Par unicité de l'inverse, A est symétrique. Donc \( A^{5} = I_n \). \( X^5 - 1 \) est un polynôme annulateur de \( A \), et \( A \) est réelle, donc \( A = I_n \). Si jamais cet argument n'est pas valable (j'ai un léger doute), on diagonalise A (théorème spectral) et on montre que la matrice diagonale correspondante est nécessairement \( I_n \) (en se servant du fait que \( A \) est réelle).
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gchacha
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gchacha » lun. avr. 10, 2017 4:10 pm

Antoine- a écrit :
lun. avr. 10, 2017 10:18 am
SPOILER:
Si je ne me suis pas trompé en transposant :
\( (A^{t}AA^{t}A)A = I_n \) donc \( A = (A^{t}AA^{t}A)^{-1} \). En transposant l'égalité de l'énoncé, on trouve aussi \( ^{t}A = (A^{t}AA^{t}A)^{-1} \). Par unicité de l'inverse, A est symétrique. Donc \( A^{5} = I_n \). \( X^5 - 1 \) est un polynôme annulateur de \( A \), et \( A \) est réelle, donc \( A = I_n \). Si jamais cet argument n'est pas valable (j'ai un léger doute), on diagonalise A (théorème spectral) et on montre que la matrice diagonale correspondante est nécessairement \( I_n \) (en se servant du fait que \( A \) est réelle).
Oui c'est ça :D mais effectivement si
SPOILER:
A est symétrique réelle on utilise la diagonalisation dans une base adaptées etc...
Modifié en dernier par gchacha le lun. avr. 10, 2017 6:20 pm, modifié 1 fois.

Antoine-
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Antoine- » lun. avr. 10, 2017 5:21 pm

Mais du coup le premier argument (du polynôme annulateur) ne marche pas ? Ou alors il faudrait détailler un peu plus ? (Mais dans ce cas autant passer par le théorème spectral en effet)
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gchacha
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gchacha » lun. avr. 10, 2017 6:19 pm

Je dirai qu'une des précautions à prendre c'est de
SPOILER:
ne pas factoriser le polynôme annulateur.

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alm
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par alm » mar. avr. 11, 2017 6:05 pm

On remarque que la réponse donnée reste valable si $A$ vérifie $(A^tA)^{m}A=I_n$ avec $m \in \mathbb{N}^*$, notamment, le cas $m=1$ pour lequel: si $A^tAA=I_n$ alors $A=I_n$.

Une question similaire plus générale: Soit $(n,p,q)\in (\mathbb{N}^*)^3$ , existe -t- il des matrices carrées réelles d'ordre $n$, $A$ tel que : et $(A^tA)^pA^q=I_n$ ?

Antoine-
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Antoine- » sam. avr. 15, 2017 8:56 am

J'aurais envie de dire que \( A = I_n \) mais je ne vois pas trop comment faire, j'ai trouvé quelques relations mais rien de plus ...
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Isacu
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Isacu » sam. avr. 15, 2017 9:14 am

à priori il y a au moins tout une famille de transformations A qui sont solutions de cet ensemble (je les donne dans la balise spoiler) après je sais pas encore si se sont les seules.
SPOILER:
toutes les rotations orthogonales autour d'un axe (quelconque) d'angle 2pi/q pour savoir si c'est les seuls, il faudrait voir si on peut décomposer toutes les solutions en produit de cet ensemble.
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Zetary
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Zetary » dim. avr. 23, 2017 7:44 pm

Déjà toute solution est diagonalisable, ce qui restreint un peu les recherches

Jarjar666
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Jarjar666 » lun. juin 12, 2017 6:41 pm

Bon un exo rigolo.
Une matrice M de Mn(IK) est dite magique si :
Il existe une constante D telle que :
Pour toute les lignes de M , la somme des coefficients de M sur cette ligne vaut D
Même chose pour les colonnes de M
La somme des termes diagonaux vaut aussi D
La somme de termes de l'autre diagonale vaut aussi D (les m(n-i+1,i).

Montrer que les matrices magiques forment un EV dont on déterminera une base.

Samuel.A
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Samuel.A » lun. août 21, 2017 12:06 am

Soient (a,b) deux nombres complexes
On note Ma et Mb respectivement des matrices magiques de Mn(C) associées à a et à b. (On peut le faire en effet étant donné un nombre d il suffit de considérer la matrice remplie de 1 que multiplie le scalaire d/n)
Il est acquis, par les définitions de l'addition de matrices et de la multiplication de celles ci par un scalaire, par commutativité de l'addition et distributivité de la multiplication dans C, que l'ensemble des matrices magiques est stable par combinaisons linéaires. C'est donc un sev de Mn(C).
Par contre je peux seulement conjecturer dur la dimension de cet espace qui me semble être engendré uniquement par la matrice remplie de 1 ce serait donc un espace de dimension 1 dont cette matrice est une base.

Je ne sais cependant pas comment le prouver... :/
Si qqun pouvait m'éclairer ! :D
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bubulle
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par bubulle » lun. août 21, 2017 10:59 pm

Sauf erreur, c'est faux.
J'avais regardé cet exercice malheureusement je n'ai pas gardé mes notes.
De mémoire, (en supposant n>2) j'avais regardé, partant d'une matrice magique de dimension n, quelles étaient les conditions sur la matrice de dimension (n-2) "incluse" dans la première matrice (en gros la matrice formée en "enlevant les bords" de la matrice initiale), pour que la première puisse être effectivement magique (et alors quelles valeurs donner aux bords).
C'était assez fastidieux mais de mémoire ca permettait d'exhiber une base.

Samuel.A
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Samuel.A » mar. août 22, 2017 10:27 am

Oui c'est évident que je suis allé trop vite et je crois finalement que c'est bien trop compliqué pour moi haha, merci en tout cas !
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » lun. mai 07, 2018 10:48 pm

Voici un lemme pratique sur les matrices complexes. On admet d'Alembert. On note \( A^\mathrm{H} \) le conjugué de la transposée de \( A \). J'espère que les matrices complexes et les bases orthonormales pour des ev sur C sont encore au programme. Sinon, je vais devoir sortir la version réelle et c'est plus compliqué. En prépa, on nous avait démontré la diagonalisabilité des matrices symétriques et hermitiennes sans passer par Schur mais je trouve que c'est plus pratique avec.

Décomposition de Schur complexe
Soit \( A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \). Montrer qu'il existe une matrice orthonormale \( P \) (ie tel que \( P^\mathrm{H}P=I \)) tel que \( U=P^\mathrm{H}AP \) soit une matrice triangulaire supérieure.

Conséquences
  1. Soit \( A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) hermitienne (\( A^\mathrm{H}=A \)). Soit \( A=PUP^\mathrm{H} \) une de ses décompositions de Schur. Montrez que \( U \) est diagonale et que les éléments sur la diagonale sont réels.
  2. Soit \( A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) normale (\( A^\mathrm{H}A=AA^\mathrm{H} \)). Soit \( A=PUP^\mathrm{H} \) une de ses décompositions de Schur. Montrez que \( U \) est diagonale.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Zetary
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Zetary » lun. mai 07, 2018 11:15 pm

Non il n'y a aucun produit hermitien au programme

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noro
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par noro » jeu. mai 17, 2018 5:24 pm

matmeca_mcf1 a écrit :
lun. mai 07, 2018 10:48 pm
Voici un lemme pratique sur les matrices complexes. On admet d'Alembert. On note \( A^\mathrm{H} \) le conjugué de la transposée de \( A \). J'espère que les matrices complexes et les bases orthonormales pour des ev sur C sont encore au programme. Sinon, je vais devoir sortir la version réelle et c'est plus compliqué. En prépa, on nous avait démontré la diagonalisabilité des matrices symétriques et hermitiennes sans passer par Schur mais je trouve que c'est plus pratique avec.

Décomposition de Schur complexe
Soit \( A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \). Montrer qu'il existe une matrice orthonormale \( P \) (ie tel que \( P^\mathrm{H}P=I \)) tel que \( U=P^\mathrm{H}AP \) soit une matrice triangulaire supérieure.

Conséquences
  1. Soit \( A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) hermitienne (\( A^\mathrm{H}=A \)). Soit \( A=PUP^\mathrm{H} \) une de ses décompositions de Schur. Montrez que \( U \) est diagonale et que les éléments sur la diagonale sont réels.
  2. Soit \( A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) normale (\( A^\mathrm{H}A=AA^\mathrm{H} \)). Soit \( A=PUP^\mathrm{H} \) une de ses décompositions de Schur. Montrez que \( U \) est diagonale.
Bon je le tente.
Montrons par récurrence par n que qu'on dispose d'une base de trigonalisation de $A$ pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
Initialisation: n=1 ok.
Hérédité:
Soit $A\in\mathcal M_{n+1}(\mathbb C)$.
On dispose de $\lambda\in \mathbb C$ tel que $Ker(A-\lambda I_{n+1})\neq {0}$,
donc on dispose d'une base $(E_1, ... E_{n+1})$ telle que $A(E_1) = \lambda E_1$.
Ainsi, dans cette base, si $P=(E_1|...|E_{n+1}), A = P
\begin{pmatrix}
\lambda & * \\
0_{n,1} & A'
\end{pmatrix}P^{-1}$
or on dispose de $E'_1,...,E'_n$ une base de trigonalisation de $A'$.
alors $B_1,...B_{n+1}$, telle que $B_1=E_1$ et $B_i = P\begin{pmatrix} 0 \\ E'_i \end{pmatrix}, \forall i \in \{2,...,n+1\}$, est une base de trigonalisation de A.
Conclusion : Par récurrence A est trigonalisable (Ce résultat est au programme mais j'ai préféré le redémontrer).

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Montrons l'existence de $P\in GL_n(\mathbb C)$ telle que $P^HP=I_n$ et $P^HAP$ soit triangulaire supérieure.
On pose $||X||=\sqrt{X^HX}$ pour tout $X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)$
On dispose de $E_1,...E_n$ une base de trigonalisation de A on défini alors (de manière analogue à gramm-schmidt dans $\mathbb R$)
$B_1 = \frac{E_1}{||E_1||}$
$B_2 = \frac{E_2 - (B_1^HE_2)B_1}{||E_2 - (B_1^HE_2)B_1||}$
....
$B_n = \frac{E_n - (B_{n-1}^HE_n)B_{n-1} - ... - (B_1^HE_n)B_1 }{||E_n - (B_{n-1}^HE_n)B_{n-1} - ... - (B_1^HE_n)B_1 ||}$

Alors en posant $P = (B_1|...|B_n)$ on a bien $P^HP=(^t\bar{B_i}B_j)_{i,j}=I_n$ et $A(B_i)\in Vect(B_1,...,B_i)$ donc $P^HAP$ est triangulaire supérieure.

1/
Si \( A=PUP^\mathrm{H} \) est hermitienne avec $U$ triangulaire supérieure.
Alors $U^H=U$ donc $U$ est diagonale et les éléments diagonaux sont réels.
Nothing happened.

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