Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Retard
Messages : 1530
Enregistré le : jeu. août 09, 2012 8:57 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Retard » dim. juin 03, 2018 9:58 pm

oty20 a écrit :
sam. juin 02, 2018 9:46 pm
matmeca_mcf1 a écrit :
sam. juin 02, 2018 7:13 pm
Soit \( 0<a<1 \) et \( 0<b<1 \) . Soit \( (u_n)_{n\in\mathbb{N}} \), la suite définie par
$$
u_0=a\\
u_1=b\\
u_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}})\quad\forall n\geq1
$$


Exo sympa , la première question semble sans difficulté majeure , voici ma proposition pour la convergence : on a une relation de type \( u_{n+1}=h(u_{n},u_{n-1}) \) , avec \( h(x,x)=\sqrt{x} >x ,~~ x \in [0,1] \) et
\( h(x,x) < x , ~~ x > 1 \) , on va montrer que \( u_{n} \to 1 \) .

En effet de l'encadrement plus tôt , on tire que \( h \) est continue \( (1,1) \) et \( h(1,1)=1 \) .

Définissons \( (v_{n}) \) de sorte que ; \( v_{0}=v_{1}=min(a,b) \) et \( v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) \) . pour \( n\geq 1 \) .
Comme \( min(a,b) < 1 \) on a :
\( v_{2}=h(v_{1},v_{0})=h(v_{1},v_{1}) > v_{1} \) ,
\( v_{3}=h(v_{2},v_{1}) > h(v_{1},v_{1}) =v_{2} \) , car \( h \) est croissante en chacune de ces variables
\( v_{4} =h(v_{3},v_{2}) > h(v_{2},v_{1})>v_{3} \) , de manière général \( v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) > h(v_{n-1},v_{n-2})=v_{n} \) donc \( (v_{n}) \) est croissante majorée par \( 1 \) donc convergente vers 1 , de plus on a \( v_{n} \leq u_{n} \) , on définit \( (w_{n}) \) de manière analogue ; mais avec \( w_{0}=w_{1}=max(a,b) <1 \) , une étude similaire amène a la convergence de \( (w_{n}) \) vers 1 , comme \( v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} \) , il n'en faut pas plus , sauf erreure .
Pour la 2, je n'ai rien écrit mais n'y a t il pas moyen d'utiliser le théorème des gendarmes avec v_n définie par v_(n+1)= sqrt(v_n) et v1=sqrt(a+b) ?
Ingénieur

Retard
Messages : 1530
Enregistré le : jeu. août 09, 2012 8:57 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Retard » dim. juin 03, 2018 10:07 pm

Almar a écrit :
dim. juin 03, 2018 9:49 pm
Je ne comprends pas ce qui ne fonctionne pas... Pour les Pi_i étant tous égaux à l'endomorphisme nul on a aussi \( \pi_i(x) = 0 \in F_i \) ?

J'ai l'impression de ne pas saisir quelque chose et de paraître totalement stupide...
Je pense que tu n'as pas compris l'énoncé... Mais moi non plus parce qu'en ce qui me concerne j'ai l'impression que par définition les pi sont des projecteurs.
Ingénieur

Almar
Messages : 62
Enregistré le : lun. juin 27, 2016 11:03 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Almar » dim. juin 03, 2018 10:14 pm

Je ne comprends pas la définition des Pi_i. J'imagine bien qu'on utilise la décomposition unique dans la somme directe mais dans l'énoncé j'ai juste l'impression qu'on choisi l'image comme on veut dans le sous espace.
2016-2017 : MPSI (Lycée Pierre de Fermat)
2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon

matmeca_mcf1
Messages : 1001
Enregistré le : mar. févr. 13, 2018 10:22 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » dim. juin 03, 2018 10:17 pm

Retard a écrit :
dim. juin 03, 2018 9:58 pm
Pour la 2, je n'ai rien écrit mais n'y a t il pas moyen d'utiliser le théorème des gendarmes avec v_n définie par v_(n+1)= sqrt(v_n) et v1=sqrt(a+b) ?
On prendrait \( v_0=v_1=\min(a,b) \).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Retard
Messages : 1530
Enregistré le : jeu. août 09, 2012 8:57 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Retard » dim. juin 03, 2018 10:31 pm

J'ai oublié un 1/2 devant la racine
Ingénieur

Retard
Messages : 1530
Enregistré le : jeu. août 09, 2012 8:57 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Retard » dim. juin 03, 2018 10:32 pm

Almar a écrit :
dim. juin 03, 2018 10:14 pm
Je ne comprends pas la définition des Pi_i. J'imagine bien qu'on utilise la décomposition unique dans la somme directe mais dans l'énoncé j'ai juste l'impression qu'on choisi l'image comme on veut dans le sous espace.

Non pour moi l'image est la décomposition dans la somme directe. Mais du coup je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas un projecteur par définition....
Ingénieur

JeanN
Messages : 5056
Enregistré le : dim. sept. 04, 2005 7:27 pm
Localisation : Versailles

Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » dim. juin 03, 2018 11:02 pm

Almar a écrit :
dim. juin 03, 2018 10:14 pm
Je ne comprends pas la définition des Pi_i. J'imagine bien qu'on utilise la décomposition unique dans la somme directe mais dans l'énoncé j'ai juste l'impression qu'on choisi l'image comme on veut dans le sous espace.
Non, la définition est certes un peu elliptique mais on choisit pour l'image de x la composante qui va bien dans la décomposition qui va bien.
L'exo n'est pas bien difficile en réalité.
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Almar
Messages : 62
Enregistré le : lun. juin 27, 2016 11:03 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Almar » dim. juin 03, 2018 11:07 pm

Ah oui c'est presque immédiat alors... j'espérais un résultat avec des hypothèses plus légères...
Désolé pour le dérangement.
2016-2017 : MPSI (Lycée Pierre de Fermat)
2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon

Avatar du membre
oty20
Messages : 615
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » jeu. juin 07, 2018 8:44 am

oty20 a écrit :
sam. juin 02, 2018 11:17 pm
Une inégalité différentielle :

\( h : ]-1,1[ \to \mathbb{R} \) deux fois dérivable , telle que :

\( \forall x \in ]-1,1[ : ~~~~~~|h''(x)| \leq |h'(x)|+|h(x)|, ~~~~~~~h(0)=h'(0)=0 \)

que dire de \( h \) ?


je posterai une solution dans deux jours .
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

donnerwetter
Messages : 212
Enregistré le : sam. mars 12, 2016 6:59 pm
Classe : MP*

Re: Exos sympas MP(*)

Message par donnerwetter » jeu. juin 07, 2018 6:34 pm

Quelque chose dans ce goût là peut être ?

Soit x tel que tel que |h'(x)|=max sur [0,1/2] des y de [0,1/2] tels que |h'(y)|=max [0,y] |h'|. D'après l'inégalité des accroissements finis |h'(x)| <=x* (max [0,x] |h''|) <= x* (max [0,x] (|h'| + |h|)) <= x*|h'(x)| + x*max [0x] |h| <= x*|h'(x)| + x*x*|h'(x)| en réappliquant l'iaf donc
|h'(x)|<=x*(1+x)|h'(x)|<=3/4|h'(x)| donc sur ]0,x[ |h'| est nulle, et h aussi. On étend le résultat à [0,1/2[ par définition de x. Puis en reproduisant le même raisonnement sur la translatée i(t)=h(t+1/2) sur [0,1/2], on conclut.

Avatar du membre
oty20
Messages : 615
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » jeu. juin 07, 2018 8:19 pm

Bonsoir , l'idée est bonne , mais je pense qu'il y a un problème de rédaction .
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
Siméon
Messages : 439
Enregistré le : mer. août 12, 2015 3:48 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » jeu. juin 07, 2018 9:15 pm

Quitte à considérer $x \mapsto h(-x)$, il suffit d'établir la nullité de $h$ sur $[0,1\mathclose[$.
Les hypothèses entraînent facilement pour tout \( x \geq 0,\ |h(x)|+|h'(x)| \leq 2 \int_0^x (|h(t)| + |h'(t)|) dt \), puis on conclut avec le lemme de Grönwall.

Avatar du membre
oty20
Messages : 615
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » ven. juin 08, 2018 12:52 am

Bravo Siméon , \( x=0 \) donne \( h''(0)=0 \) puis :

\( |h'(x)|=|\int_{0}^{x} h''(t)dt|\leq\int_{0}^{x} |h''(t)|dt \\
~~~~~~~~~\leq \int_{0}^{x} |h'(t)|+|h(t)| dt \\
|h(x)|=|\int_{0}^{x} h'(t) dt | \leq \int_{0}^{x} |h'(t)| dt \leq \int_{0}^{x} |h(t)|+|h'(t)| dt \)

Cet exo montre la puissance des outils de MP . Sans le lemme de Grönwall , on peut s'en sortir , mais péniblement .
Pour montrer la fonction \( h \) est identiquement nulle , il peut être judicieux d'essayer de montrer que le \( sup |h(x)| \) est nul , ici l'intervalle est ouvert , pour utiliser les résultats de continuité on va travaillé sur un recouvrement .

Soit \( r \in ]0,\frac{1}{2} \) considérons \( I=[-r,r] \subset ]-1,1[ \)

comme \( h \) est continue , soit \( t \) tel que \( M=|h(t)|=Max_{x\in I} |h(x)| \) . On peut sans perdre de généralité supposé \( t>0 \) (comme dans la remarque dans le Poste de Siméon ) .
D’après Taylor on peut trouver \( a_{1} \in ]0,t[ \) tel que : \( h(t)=\frac{t^{2}}{2} h''(a_{1}) \) , en vue des hypothèses on tire :

\( |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})| +|h'(a_{1})|) \) , on réitérant le raisonnement , on peut trouver \( a_{2} \in ]0,a_{1}[ \) tel que : \( h'(a_{1})=a_{1} h''(a_{2}) \)

\( |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})| +a_{1}|h''(a_{2})|) \leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})|+a_{1}|h(a_{2})|+a_{1}|h'(a_{2})|) \)

En réitérant le raisonnement , on peut trouver une suite \( (a_{n}) \) strictement décroissante :
\( |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (\sum_{i=1}^{n} |h(a_{i})| \Pi_{j=1}^{i-1} a_{j} + |h'(a_{n})|\Pi_{i=1}^{n-1}a_{i})\\
~~~~~~~~~~\leq \frac{t^{2}}{2} ( \sum_{i=1}^{n} |h(t)|a_{1}^{i-1}+|h'(a_{n})| a_{1}^{n-1}) \)
Donc pour tout entier naturel \( n \)

\( |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (h(t)~~ \frac{1-a_{1}^{n-1}}{1-a_{1}}~~+|h'(a_{n})|a_{1}^{n-1}) \)

comme \( x\to h'(x) \) est bornée sur \( I \) ,on fait tendre \( n \to \infty \) il vient :
\( |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} \frac{|h(t)|}{1-a_{1}} \) donc \( (1-\frac{t^{2}}{2(1-a_{1})}) |h(t)|\leq 0 \) comme \( a_{1}\in ]0,\frac{1}{2}[ \) , il s'ensuit que \( |h(t)|=0 \) donc \( h\equiv 0 \) sur \( [-r,r] \) , donc \( h(r)=h(-r)=h'(r)=h'(-r)=0 \) , par translation avec un raisonnement analogue il vient que \( h \equiv 0 \) sur \( [-2r,2r] \) pour tout \( r \in ]0,\frac{1}{2}[ \) ce qui permet de conclure .
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

yoloyo123
Messages : 15
Enregistré le : mar. mai 22, 2018 8:34 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par yoloyo123 » mer. juin 13, 2018 12:17 am

Puisque le dernier parlait de suite
Soit la suite $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $y_0 > 0$ et $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $ y_{n+1} = \frac{1}{2}( y_n+ \frac{1}{y_n}) $
Étudier la convergence de $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$

Avatar du membre
Chronoxx
Messages : 153
Enregistré le : ven. nov. 17, 2017 9:53 pm
Classe : MPSI

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Chronoxx » mer. juin 13, 2018 1:50 am

Bonsoir ! :)

Pour l’étude de la convergence de \( (y_n) \) :
SPOILER:
Soit \( f \) une fonction dérivable de \( \mathbb R_{+}^{*} \) dans \( \mathbb R \) définie par :
\( \forall x \in \mathbb R_{+}^{*}, f(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(x + \displaystyle\frac{1}{x}) \).

Démontrons que \( (y_n)_{n \in \mathbb N} \) est convergente :
On dérive \( f \) :
\( \forall x \in \mathbb R_{+}^{*}, f'(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(1-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}) \Leftrightarrow f'(x) = \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{2x^{2}} \)

D'où, \( f \) admet un minimum sur \( \mathbb R_{+}^{*} \) en \( x=1 \).
Par définition, \( \forall x \in \mathbb R_{+}^{*} \), \( f(x) \geq f(1) = 1 \).

Or \( y_{0} > 0 \), on en déduit que la suite \( (y_{n})_{n \in \mathbb N} \) est bien définie et à valeurs dans \( \mathbb R_{+}^{*} \).

Pour \( x \) dans \( [1,+ \infty[ \), étudions le signe de \( f(x) - x \).
\( f(x) - x = \displaystyle\frac{1}{2}(x + \displaystyle\frac{1}{x}) - x = -\displaystyle\frac{1}{2}x + \displaystyle\frac{1}{2x} = \displaystyle\frac{(1-x)(1+x)}{2x} \).

Ainsi, \( \forall x \in [1,+ \infty[, f(x) \leq x \). De plus, \( \forall n \in \mathbb N^{*} \), \( y_n \geq 1 \). On en déduit alors que \( (y_n)_{n \geq 1} \) est décroissante.

On suppose que \( n≠0 \). \( (y_n) \) est décroissante et minorée par 1, donc \( (y_n) \) converge vers un réel \( \ell \geq 1 \).

Déterminons la limite de \( (y_n) \) :

\( (y_n) \) converge vers un réel \( \ell \geq 1 \) et \( f \) est continue sur \( \mathbb R_{+}^{*} \) (car dérivable) donc en \( \ell \).
Or, \( y_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} \ell \) et \( y_{n+1}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} f(\ell) \).

Par unicité de la limite, \( f(\ell) = \ell \Rightarrow \ell = 1 \).

Donc \( \displaystyle y_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 1 \)
2017-2018 : TS Spé maths
2018-2019 : MPSI H4 HX3

<AQT> \(   \frac{\pi}{17} \) </AQT> 8)
"Dans la vie, il y a deux choses: soit vous couchez, soit vous fayotez", Kerner 2018.

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 9 invités