Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Thaalos
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » dim. juin 17, 2018 10:57 pm

Dattier a écrit :
dim. juin 17, 2018 8:21 pm
Thaalos a écrit :
dim. juin 17, 2018 2:51 pm
De quoi parles-tu ?
Lis le spoiler que j'ai laissé, tu pourras y deviner une version (avec valeur absolue) de l'énoncé de Yoloyo qui marche.
Peut-être que tu devrais bien relire son énoncé.
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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. juin 18, 2018 12:18 am

Dattier a écrit :
dim. juin 17, 2018 10:12 pm
zygomatique a écrit :
dim. juin 17, 2018 2:05 pm
quel est l'intérêt de parler de la valeur absolue de nombres positifs ?
Effectivement, je n'y avais pas prêté attention.

yoloyo123
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par yoloyo123 » lun. juin 18, 2018 11:08 pm

Soit $x$ une indeterminée et on pose :
$\frac{x_n}{y_n}=\frac{x}{1+ \frac{x}{3+ \frac{...}{ ... + \frac{x}{2n-3} } } }$
Déterminer $ lim \frac{x_n}{y_n}$ quand n tend vers l'infini .

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Thaalos
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » mer. juin 20, 2018 10:20 am

Ça sent l'énoncé extrait d'un problème ou exo avec étapes intermédiaires sans aucune forme d'adaptation.

Du coup c'est illisible et ça n'a pas beaucoup de sens. Ça serait bien que tu fasses un effort sur tes énoncés si tu veux poster ici.
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V@J
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » ven. juil. 13, 2018 8:24 am

Alors qu'il aurait suffi d'aller sur Wikipedia...

nosnos23
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par nosnos23 » mar. juil. 17, 2018 1:31 pm

On considère l'ensemble A={M^3+N^3, M,N des matrices carrées de taille n à coefficients complexes}
Montrez que la multiplication des matrices est interne pour l'ensemble A.

gchacha
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gchacha » mer. juil. 18, 2018 2:03 am

Un grand classique des oraux : Soit \( u \in \mathbb{N}^* \). Montrer que la série de terme général \( \left(\frac{1}{n(n+1)...(n+u)}\right) \) converge et déterminer sa limite.

Indic :
SPOILER:
Penser à la propriété des "séries télescopiques".

kingsl
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par kingsl » mer. juil. 25, 2018 9:10 pm

gchacha a écrit :
mer. juil. 18, 2018 2:03 am
Un grand classique des oraux : Soit \( u \in \mathbb{N}^* \). Montrer que la série de terme général \( \left(\frac{1}{n(n+1)...(n+u)}\right) \) converge et déterminer sa limite.

Indic :
SPOILER:
Penser à la propriété des "séries télescopiques".
Est ce que c'est possible d'avoir la valeur de la limite ?

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noro
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par noro » mer. juil. 25, 2018 11:10 pm

kingsl a écrit :
mer. juil. 25, 2018 9:10 pm

Est ce que c'est possible d'avoir la valeur de la limite ?
Oui
Nothing happened.
-------------------------------------------
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gchacha
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gchacha » jeu. juil. 26, 2018 2:27 am

kingsl a écrit :
mer. juil. 25, 2018 9:10 pm
gchacha a écrit :
mer. juil. 18, 2018 2:03 am
Un grand classique des oraux : Soit \( u \in \mathbb{N}^* \). Montrer que la série de terme général \( \left(\frac{1}{n(n+1)...(n+u)}\right) \) converge et déterminer sa limite.

Indic :
SPOILER:
Penser à la propriété des "séries télescopiques".
Est ce que c'est possible d'avoir la valeur de la limite ?
SPOILER:
Il faut trouver \( \frac{1}{u.u!} \):twisted:

BobbyJoe
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » ven. juil. 27, 2018 7:30 am

Il est possible qu'en connaissant le résultat on puisse trouver une preuve plus rapide...
SPOILER:
Introduisons pour $u$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ le polynôme $\displaystyle P(X)=\prod_{i=0}^{u}(X+i).$ Alors par une décomposition en éléments simples, on a $\displaystyle \frac{1}{P(X)}=\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\frac{1}{X+i},$ qui donne en particulier $\displaystyle \sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}=0\mbox{ } \textbf{(*)}.$
Ainsi, en regardant la plage commune d'indices, on a pour tout $N$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ (assez grand),
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{P(n)} & =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+i}\\
& = \sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\sum_{n=1+i}^{N+i}\frac{1}{n}\\
& =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\left(\sum_{n=1+i}^{N+i}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\right) \mbox{ par } \textbf{(*)}\\
& =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\left(\sum_{n=N+1}^{N+i}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{i}\frac{1}{n}\right)\\
& \longrightarrow_{N\rightarrow +\infty} -\sum_{i=1}^{u}\frac{1}{P'(-i)}H_{i},
\end{align*}
où $H_{i}$ désigne le $i$-ème nombre harmonique.

Par un calcul direct, on a enfin pour tout $i$ appartenant à $\{0,\ldots,u\},$ $\displaystyle P'(-i)=(-1)^{i}i!(u-i)!.$ Ainsi, il vient $$A(u):=-\sum_{i=1}^{u}\frac{1}{P'(-i)}H_{i}=\frac{1}{u!}\sum_{i=1}^{u}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}.$$

Or, on a par la formule du triangle de Pascal puis par la formule du binôme de Newton (avec la convention que $H_{0}=0$) :
\begin{align*}
(u+1)!A(u+1) & =\sum_{i=1}^{u+1}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}+\sum_{i=1}^{u+1}(-1)^{i+1}\binom{u}{i-1}H_{i}\\
& = \sum_{i=0}^{u}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}+\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\binom{u}{i}H_{i+1}\\
& =\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\frac{\binom{u}{i}}{i+1}\\
& =\frac{1}{u+1}\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\binom{u+1}{i+1}\\
& =\frac{1}{u+1}.
\end{align*}

La limite recherchée est donc pour $u\geq 1,$ $\displaystyle A(u)=\frac{1}{u!u}.$

BobbyJoe
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » ven. juil. 27, 2018 7:45 am

Un exercice amusant (maintenant à la lisière du programme de spé de MP car on y fait peu d'équa diff. et peu de dualité...)

Soit $E$ sous-espace vectoriel de dimension finie de $\mathbb{C}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ On suppose que $E$ est invariant par translation i.e. pour tout $f$ appartenant à $E,$ pour tout $h$ appartenant à $\mathbb{R},$ $\tau_{h}(f)$ appartient à $E$ où $\tau_{h}(f) : x\mapsto f(x+h).$

Montrer que $E$ est l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Indication : Le point difficile est de prouver que les fonctions de $E$ sont dérivables ou en d'autres termes de montrer que la dérivation (classique) est un endomorphisme de $E.$

kingsl
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par kingsl » ven. juil. 27, 2018 2:45 pm

noro a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:10 pm
kingsl a écrit :
mer. juil. 25, 2018 9:10 pm

Est ce que c'est possible d'avoir la valeur de la limite ?
Oui
Je voulais le resultat de la limite pour verifier plutot 😂

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » sam. juil. 28, 2018 5:50 am

BobbyJoe a écrit :
ven. juil. 27, 2018 7:45 am
Un exercice amusant (maintenant à la lisière du programme de spé de MP car on y fait peu d'équa diff. et peu de dualité...)

Soit $E$ sous-espace vectoriel de dimension finie de $\mathbb{C}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ On suppose que $E$ est invariant par translation i.e. pour tout $f$ appartenant à $E,$ pour tout $h$ appartenant à $\mathbb{R},$ $\tau_{h}(f)$ appartient à $E$ où $\tau_{h}(f) : x\mapsto f(x+h).$

Montrer que $E$ est l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Indication : Le point difficile est de prouver que les fonctions de $E$ sont dérivables ou en d'autres termes de montrer que la dérivation (classique) est un endomorphisme de $E.$
Au premier abord cet exo fait peur , c'est tiré d'un oral ?

Le tout réside sur le fait de la finitude de la dimension de E , soit \( E=vect(v_{1},...,v_{n}) ,~~n=dim(E) \) , pour connaitre un endomorphisme il suffit de voir ce qu'il ''fait'' à une base. (je vais changer les notations pour simplifier l’écriture latex)

soit \( h \in \mathbb{R}^{*} \)

pour tout \( i \in [[1,n]] \) , \( v_{i}(x+h)=\sum_{j=1}^{n} t_{i,j}(h)v_{j}(x) \) ce qui donne matriciellement

\( \\~~~~~~~~~~~V(x+h)=T(h)V(x) \) ,

Ainsi \( \frac{V(x+h)-V(x)}{h}=\frac{T(h)-T(0)}{h} V(x) \) ,
il suffit de montrer la différentiabilité de \( h \to T(h) \) en 0, T(h) une matrice carrée réelle .

à suivre je suis rouillé dans ce domaine .....il faudrait revoir certains cours :lol:
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » jeu. août 02, 2018 1:08 am

Bonsoir une indication pour montrer la différentiabilité en 0 ?
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

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