Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. août 24, 2018 11:11 am

Bonjour,

Soit \( f \) une fonction réel quelconque.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(x_n)_n$, non quasi-constante et convergente, tel que $(f(x_n))_n$ converge ?

Bonne journée.

GaBuZoMeu
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. août 24, 2018 2:39 pm

Oui.
SPOILER:
Choisir un entier naturel \( M \) tel que \( A=\{x\in[0,1] \mid |f(x)|\leq M\} \) est infini (il en existe puisque \( [0,1] \) est non dénombrable). Choisir n'importe quelle suite injective \( (y_n)_{n\in \mathbb N} \) d'éléments de \( A \). D'après Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite \( (y_n) \) une sous-suite convergente \( (x_n) \) telle que la suite \( f(x_n) \) converge.

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. août 24, 2018 2:42 pm

@GaBuZoMeu : Bravo.

Il existe un résultat plus fort, où la suite converge vers c et la suite image converge vers f(c) (théorème de Blass, de convergence en milieu hostile).
https://mathoverflow.net/questions/3090 ... 025#309025

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. août 24, 2018 4:19 pm

Un autre :

\( \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} \)
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca
Modifié en dernier par Dattier le ven. août 24, 2018 8:52 pm, modifié 1 fois.

matmeca_mcf1
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » ven. août 24, 2018 8:42 pm

Dattier a écrit :
ven. août 24, 2018 4:19 pm
\( \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} \)
c. Non. Il suffit de prendre \( (a_i)_i \) non bornée.

Je propose de rajouter bornée à la question c) étant donnée que l'application qui à \( (x_k)_k \) associe \( (a_i)_i \) envoie \( \ell^1(\mathbb{R}) \) dans \( \ell^\infty(\mathbb{R}) \).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Message par Dattier » ven. août 24, 2018 8:49 pm

ok.

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Message par Dattier » sam. août 25, 2018 1:08 am

Niveau : MP*+
Un compact \( C \) est dit radin, s'il existe $(a_n)_n$ tel que $\overline{\{a_n\text{ ; } n\in\mathbb N \}}=C$ et
$\forall m \in \mathbb N, \overline{\{a_n\text{ ; } n\in\mathbb N, n\neq m \}}\neq C$, avec $\text{card}(C)>\text{card}(\mathbb N)$.

Existe-t-il un compact radin ?
Modifié en dernier par Dattier le sam. août 25, 2018 1:11 am, modifié 1 fois.

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Message par Dattier » sam. août 25, 2018 1:19 am

Un compact \( D \) est dit généreux, s'il existe $(a_n)_n$ tel que $\overline{ \{ a_n \text{ ; } n \in \mathbb N \} }=D$
et $\forall m \in \mathbb N, \overline{\{\ a_n \text{ ; } n\in\mathbb N, n\neq m \}}=D$, avec $\text{card}(D) \leq \text{card}(\mathbb N)$

Existe-t-il un compact généreux ?

Montrer qu'un compact généreux est trés généreux dans un sens que l'on précisera.

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Message par Dattier » dim. août 26, 2018 2:33 pm

Bonjour,

Dérivé en milieu hostile :

$f$ une fonction réel quelconque.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(x_n)_n$ qui converge vers $c$ en étant jamais égale à $c$, tel que :
$\dfrac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}$ converge ?

Bonne journée.

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. août 27, 2018 4:56 am

Dattier a écrit :
ven. août 24, 2018 4:19 pm
Un autre :

\( \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} \)
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca


Très intéressant exo, j’espère ne pas me tromper voici ce qui me vient au premier abord pour la b) fixons \( i \in \mathbb{N}^{*} \) considérons les termes \( (x_{ip})_{p\geq 1} \) on pose \( y_{p}=x_{ip} \) la série \( \sum y_{p} \) est clairement absolument convergente, on sait qu'on enlevant un nombre fini de termes cela ne change pas la nature de la série, quitte à reindexer les termes sans perdre de généralité j’enlève \( y_{1} \) , comme le terme général de la série tend vers zero d’après ce lemme viewtopic.php?f=3&t=65102&p=900587#p900587 que nous avons démontrer professeur @jeanN et moi,on peut trouver \( (e_{p}) \in \{-1,1\}^{\mathbb{N}} \) tel que \( S_{n}=\sum_{p=2}^{n} e_{p}y_{p} \to 0 \),

La série associé à \( (e_{p}y_{p})_{p\geq 2} \) reste clairement absolument convergente on pose \( y_{1}=a_{i} \), on a bien:
\( y_{1}+\lim_{n\to +\infty} S_{n}=a_{i} \)

cette construction montre bien la non unicité de la solution, sauf erreur.
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » lun. août 27, 2018 8:09 am

oty20 a écrit :
lun. août 27, 2018 4:56 am
Dattier a écrit :
ven. août 24, 2018 4:19 pm
Un autre :

\( \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} \)
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca


Très intéressant exo, j’espère ne pas me tromper voici ce qui me vient au premier abord pour la b) fixons \( i \in \mathbb{N}^{*} \) considérons les termes \( (x_{ip})_{p\geq 1} \) on pose \( y_{p}=x_{ip} \) la série \( \sum y_{p} \) est clairement absolument convergente, on sait qu'on enlevant un nombre fini de termes cela ne change pas la nature de la série, quitte à reindexer les termes sans perdre de généralité j’enlève \( y_{1} \) , comme le terme général de la série tend vers zero d’après ce lemme viewtopic.php?f=3&t=65102&p=900587#p900587 que nous avons démontrer professeur @jeanN et moi,on peut trouver \( (e_{p}) \in \{-1,1\}^{\mathbb{N}} \) tel que \( S_{n}=\sum_{p=2}^{n} e_{p}y_{p} \to 0 \),

La série associé à \( (e_{p}y_{p})_{p\geq 2} \) reste clairement absolument convergente on pose \( y_{1}=a_{i} \), on a bien:
\( y_{1}+\lim_{n\to +\infty} S_{n}=a_{i} \)

cette construction montre bien la non unicité de la solution, sauf erreur.
J ai du mal à comprendre on veut que la dernière égalité soit vraie pour tout i...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. août 27, 2018 12:45 pm

@Oty : Prends \( \sum \frac{1}{4^{i^2}} \) alors tu ne trouveras aucune sous suite même en multipliant les termes par +-1, dont la somme tende vers 0.

édit : $i$ est devienu $i^2$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. août 27, 2018 4:52 pm

Nabuco a écrit :
lun. août 27, 2018 8:09 am

J ai du mal à comprendre on veut que la dernière égalité soit vraie pour tout i...
Bonjour, on partant d'une famille \( (x_{k}) \) pour chaque \( i \) je modifie les indices \( (x_{ip})_{p \geq 1} \)
comme dans mon précédent poste,

la suite formé par la concaténation des termes modifiés vérifie pour tout i les égalités demandé.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. août 27, 2018 5:03 pm

il y a un problème je ne peux pas retiré \( p=1 \), car dans ce cas j'introduis la valeur \( a_{i} \) dans \( x_{i} \) et je perd l'absolu convergence de la série sans information sur les \( a_{i} \), par contre si je fixe \( m\geq 2 \) et je retire \( x_{mi} \) en introduisant
dedans \( x_{mi}=a_{i} \) cela semble palier ce défaut.

Edit: Désolé j'ai rédigé trop rapidement cela ne marche pas non plus,
\( \sum_{i} |x_{mi}|=\sum_{i} |a_{i}| \leq \sum_{k} |x_{k}| < \infty \)
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par kakille » ven. août 31, 2018 4:56 pm

Hello,

soit \( n \) un entier \( \geq 1 \). Le théorème spectral dit en particulier que, pour \( M\in M_n (\mathbb{R}) \) symétrique, l'ensemble des racines de son polynôme caractéristique est inclus dans \( \mathbb{R} \) : on peut donc écrire cet ensemble \( \{ \lambda_i (M)\mid 1\leq i\leq n\} \) avec \( \lambda_1 (M)\geq \ldots\geq \lambda_n (M) \).

Soient \( A,B\in M_n (\mathbb{R}) \) symétriques. Alors \( A+B \) est symétrique réelle. Le but est de démontrer les inégalités suivantes valables pour tout \( i,j \) dans \( \{1,\ldots,n\} \) tels que \( i+j-1 \) soit dans \( \{1,\ldots,n\} \) :
\( \lambda_{i+j-1} (A+B)\leq \lambda_i (A)+\lambda_j (B) \)

1. Soit \( M\in M_n (\mathbb{R}) \) symétrique. On note \( (.,.) \) le produit scalaire canonique de \( M_{n,1} (\mathbb{R}) \) et \( |.| \) la norme associée. Démontrer que pour tout \( v\in M_{n,1} (\mathbb{R}) \) tel que \( |v|=1 \), on a : \( \lambda_n (M)\leq (v,Mv)\leq \lambda_1 (M) \).

Le théorème spectral permet d'introduire une base orthonormée \( (e_1,\ldots,e_n) \) (resp. \( (f_1,\ldots,f_1) \),\( (g_1,\ldots,g_n) \)) de \( M_{n,1} (\mathbb{R}) \) avec \( e_i \) (resp. \( f_i \), \( g_i \)) vecteur propre de \( A \) (resp. \( B \), \( A+B \)) associé à \( \lambda_i (A) \) (resp. \( \lambda_i (B) \), \( \lambda_i (A+B) \)) pour tout \( i \) dans \( \{1,...,n\} \).

Soient \( i,j \) dans \( \{1,\ldots,n\} \) tels que \( i+j-1 \) soit dans \( \{1,\ldots,n\} \). On introduit \( E=vect(e_i,\ldots,e_n), F=vect(f_j,\ldots,f_n), G=vect(g_1,\ldots,g_{i+j-1}) \).

2. Justifier que \( E\cap F \cap G \) n'est pas réduit à \( \{0\} \).

3. Conclure.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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