Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. août 24, 2018 11:11 am

Bonjour,

Soit $ f $ une fonction réel quelconque.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(x_n)_n$, non quasi-constante et convergente, tel que $(f(x_n))_n$ converge ?

Bonne journée.

GaBuZoMeu
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. août 24, 2018 2:39 pm

Oui.
SPOILER:
Choisir un entier naturel $ M $ tel que $ A=\{x\in[0,1] \mid |f(x)|\leq M\} $ est infini (il en existe puisque $ [0,1] $ est non dénombrable). Choisir n'importe quelle suite injective $ (y_n)_{n\in \mathbb N} $ d'éléments de $ A $. D'après Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite $ (y_n) $ une sous-suite convergente $ (x_n) $ telle que la suite $ f(x_n) $ converge.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. août 24, 2018 2:42 pm

@GaBuZoMeu : Bravo.

Il existe un résultat plus fort, où la suite converge vers c et la suite image converge vers f(c) (théorème de Blass, de convergence en milieu hostile).
https://mathoverflow.net/questions/3090 ... 025#309025

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. août 24, 2018 4:19 pm

Un autre :

$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} $
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca
Modifié en dernier par Dattier le ven. août 24, 2018 8:52 pm, modifié 1 fois.

matmeca_mcf1
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » ven. août 24, 2018 8:42 pm

Dattier a écrit :
ven. août 24, 2018 4:19 pm
$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} $
c. Non. Il suffit de prendre $ (a_i)_i $ non bornée.

Je propose de rajouter bornée à la question c) étant donnée que l'application qui à $ (x_k)_k $ associe $ (a_i)_i $ envoie $ \ell^1(\mathbb{R}) $ dans $ \ell^\infty(\mathbb{R}) $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.


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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. août 25, 2018 1:08 am

Niveau : MP*+
Un compact $ C $ est dit radin, s'il existe $(a_n)_n$ tel que $\overline{\{a_n\text{ ; } n\in\mathbb N \}}=C$ et
$\forall m \in \mathbb N, \overline{\{a_n\text{ ; } n\in\mathbb N, n\neq m \}}\neq C$, avec $\text{card}(C)>\text{card}(\mathbb N)$.

Existe-t-il un compact radin ?
Modifié en dernier par Dattier le sam. août 25, 2018 1:11 am, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. août 25, 2018 1:19 am

Un compact $ D $ est dit généreux, s'il existe $(a_n)_n$ tel que $\overline{ \{ a_n \text{ ; } n \in \mathbb N \} }=D$
et $\forall m \in \mathbb N, \overline{\{\ a_n \text{ ; } n\in\mathbb N, n\neq m \}}=D$, avec $\text{card}(D) \leq \text{card}(\mathbb N)$

Existe-t-il un compact généreux ?

Montrer qu'un compact généreux est trés généreux dans un sens que l'on précisera.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » dim. août 26, 2018 2:33 pm

Bonjour,

Dérivé en milieu hostile :

$f$ une fonction réel quelconque.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(x_n)_n$ qui converge vers $c$ en étant jamais égale à $c$, tel que :
$\dfrac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}$ converge ?

Bonne journée.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. août 27, 2018 4:56 am

Dattier a écrit :
ven. août 24, 2018 4:19 pm
Un autre :

$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} $
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca


Très intéressant exo, j’espère ne pas me tromper voici ce qui me vient au premier abord pour la b) fixons $ i \in \mathbb{N}^{*} $ considérons les termes $ (x_{ip})_{p\geq 1} $ on pose $ y_{p}=x_{ip} $ la série $ \sum y_{p} $ est clairement absolument convergente, on sait qu'on enlevant un nombre fini de termes cela ne change pas la nature de la série, quitte à reindexer les termes sans perdre de généralité j’enlève $ y_{1} $ , comme le terme général de la série tend vers zero d’après ce lemme viewtopic.php?f=3&t=65102&p=900587#p900587 que nous avons démontrer professeur @jeanN et moi,on peut trouver $ (e_{p}) \in \{-1,1\}^{\mathbb{N}} $ tel que $ S_{n}=\sum_{p=2}^{n} e_{p}y_{p} \to 0 $,

La série associé à $ (e_{p}y_{p})_{p\geq 2} $ reste clairement absolument convergente on pose $ y_{1}=a_{i} $, on a bien:
$ y_{1}+\lim_{n\to +\infty} S_{n}=a_{i} $

cette construction montre bien la non unicité de la solution, sauf erreur.
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » lun. août 27, 2018 8:09 am

oty20 a écrit :
lun. août 27, 2018 4:56 am
Dattier a écrit :
ven. août 24, 2018 4:19 pm
Un autre :

$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} $
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca


Très intéressant exo, j’espère ne pas me tromper voici ce qui me vient au premier abord pour la b) fixons $ i \in \mathbb{N}^{*} $ considérons les termes $ (x_{ip})_{p\geq 1} $ on pose $ y_{p}=x_{ip} $ la série $ \sum y_{p} $ est clairement absolument convergente, on sait qu'on enlevant un nombre fini de termes cela ne change pas la nature de la série, quitte à reindexer les termes sans perdre de généralité j’enlève $ y_{1} $ , comme le terme général de la série tend vers zero d’après ce lemme viewtopic.php?f=3&t=65102&p=900587#p900587 que nous avons démontrer professeur @jeanN et moi,on peut trouver $ (e_{p}) \in \{-1,1\}^{\mathbb{N}} $ tel que $ S_{n}=\sum_{p=2}^{n} e_{p}y_{p} \to 0 $,

La série associé à $ (e_{p}y_{p})_{p\geq 2} $ reste clairement absolument convergente on pose $ y_{1}=a_{i} $, on a bien:
$ y_{1}+\lim_{n\to +\infty} S_{n}=a_{i} $

cette construction montre bien la non unicité de la solution, sauf erreur.
J ai du mal à comprendre on veut que la dernière égalité soit vraie pour tout i...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. août 27, 2018 12:45 pm

@Oty : Prends $ \sum \frac{1}{4^{i^2}} $ alors tu ne trouveras aucune sous suite même en multipliant les termes par +-1, dont la somme tende vers 0.

édit : $i$ est devienu $i^2$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. août 27, 2018 4:52 pm

Nabuco a écrit :
lun. août 27, 2018 8:09 am

J ai du mal à comprendre on veut que la dernière égalité soit vraie pour tout i...
Bonjour, on partant d'une famille $ (x_{k}) $ pour chaque $ i $ je modifie les indices $ (x_{ip})_{p \geq 1} $
comme dans mon précédent poste,

la suite formé par la concaténation des termes modifiés vérifie pour tout i les égalités demandé.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. août 27, 2018 5:03 pm

il y a un problème je ne peux pas retiré $ p=1 $, car dans ce cas j'introduis la valeur $ a_{i} $ dans $ x_{i} $ et je perd l'absolu convergence de la série sans information sur les $ a_{i} $, par contre si je fixe $ m\geq 2 $ et je retire $ x_{mi} $ en introduisant
dedans $ x_{mi}=a_{i} $ cela semble palier ce défaut.

Edit: Désolé j'ai rédigé trop rapidement cela ne marche pas non plus,
$ \sum_{i} |x_{mi}|=\sum_{i} |a_{i}| \leq \sum_{k} |x_{k}| < \infty $
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kakille
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par kakille » ven. août 31, 2018 4:56 pm

Hello,

soit $ n $ un entier $ \geq 1 $. Le théorème spectral dit en particulier que, pour $ M\in M_n (\mathbb{R}) $ symétrique, l'ensemble des racines de son polynôme caractéristique est inclus dans $ \mathbb{R} $ : on peut donc écrire cet ensemble $ \{ \lambda_i (M)\mid 1\leq i\leq n\} $ avec $ \lambda_1 (M)\geq \ldots\geq \lambda_n (M) $.

Soient $ A,B\in M_n (\mathbb{R}) $ symétriques. Alors $ A+B $ est symétrique réelle. Le but est de démontrer les inégalités suivantes valables pour tout $ i,j $ dans $ \{1,\ldots,n\} $ tels que $ i+j-1 $ soit dans $ \{1,\ldots,n\} $ :
$ \lambda_{i+j-1} (A+B)\leq \lambda_i (A)+\lambda_j (B) $

1. Soit $ M\in M_n (\mathbb{R}) $ symétrique. On note $ (.,.) $ le produit scalaire canonique de $ M_{n,1} (\mathbb{R}) $ et $ |.| $ la norme associée. Démontrer que pour tout $ v\in M_{n,1} (\mathbb{R}) $ tel que $ |v|=1 $, on a : $ \lambda_n (M)\leq (v,Mv)\leq \lambda_1 (M) $.

Le théorème spectral permet d'introduire une base orthonormée $ (e_1,\ldots,e_n) $ (resp. $ (f_1,\ldots,f_1) $,$ (g_1,\ldots,g_n) $) de $ M_{n,1} (\mathbb{R}) $ avec $ e_i $ (resp. $ f_i $, $ g_i $) vecteur propre de $ A $ (resp. $ B $, $ A+B $) associé à $ \lambda_i (A) $ (resp. $ \lambda_i (B) $, $ \lambda_i (A+B) $) pour tout $ i $ dans $ \{1,...,n\} $.

Soient $ i,j $ dans $ \{1,\ldots,n\} $ tels que $ i+j-1 $ soit dans $ \{1,\ldots,n\} $. On introduit $ E=vect(e_i,\ldots,e_n), F=vect(f_j,\ldots,f_n), G=vect(g_1,\ldots,g_{i+j-1}) $.

2. Justifier que $ E\cap F \cap G $ n'est pas réduit à $ \{0\} $.

3. Conclure.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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