Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

matmeca_mcf1
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » sam. sept. 15, 2018 8:35 pm

Voici un problème classique résolu dès l'antiquité. On a juste besoin de la décomposition unique en facteur premiers.

Soient \( a,b,c \) trois entiers naturels premiers entre eux et tels que
$$
a^2+b^2=c^2.
$$
  1. Montrez que \( a,b,c \) sont premiers entre eux deux à deux.
  2. En déduire que soit \( a \), soit \( b \) est impair (ou inclusif). On suppose dorénavant que \( a \) est impair.
  3. Montrez que \( c \) est impair. En déduire que \( b \) est pair.
  4. Montrez que $$ \mathrm{pgcd}(c-a,c+a)=2. $$
  5. Montrez l'existence de deux entiers naturel \( p \) et \( q \), tels que \( c-a=2q^2 \) et \( c+a=2p^2 \).
  6. En déduire que
    $$
    a^2=p^2-q^2\\
    b^2=2pq\\
    c^2=p^2+q^2
    $$
  7. Montrez que \( p \) et \( q \) sont premiers entre eux.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. sept. 15, 2018 9:49 pm

@Oty : tu m'as donné l'idée d'une joli propriété :

Soit $f \in C([0,1])$. A-t-on $$\forall n \in \mathbb N^*, \int_0^1 f(x) \text{d}x=\int_0^1 f(n \times x-E( n\times x))\text{d}x $$ ?

édit : en fait c'est tout con.

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » sam. sept. 22, 2018 8:00 pm

oty20 a écrit :
sam. sept. 15, 2018 3:48 pm
une petite merveille:


Soit \( f:[0,1] \to \mathbb{C} \) continue par morceaux , Montrer que :

\( \frac{1}{\phi(n)}~~ \sum_{~~\{1\leq k \leq n ,~~ pgcd(n,k)=1\}~~}~~ f(\frac{k}{n}) \to \int_{0}^{1} f(t) dt \).
avec \( \phi \) l'indicatrice d'Euler.
Il suffit de montrer que la suite est équidistribuée https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_%C3 ... ibu%C3%A9e

soit \( n=p_{1}^{a_{1}}...p_{k}^{a_{k}} \) la décomposition en facteurs premiers de \( n \), soit \( I \) un intervalle de \( [0,1] \) , introduisons \( M_{p}=\{\frac{j}{n} \in I |j \in \mathbb{N}, 1\leq j \leq n, p|j\} \). Alors on peut écrire que \( |M_{p}|=|I|\frac{n}{p}+\varepsilon \) , avec \( \varepsilon \in [0,1] \)

Par principe d'inclusion-exclusion , il vient que :

\( |\{~~\frac{k}{n} \in I~~ |~~pgcd(n,k)=1\}|=n|I|-\sum_{i=1}^{k}|M_{p_{i}}|+ \sum_{i,j} |M_{p_{i}p_{j}}|-....+R(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{k}) \)comme on a au plus \( 2^{k} \) termes qui contiennent des epsilons, et chacun d'entres eux et inférieur à \( 1 \) en valeur absolue. il vient que
\( |R(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{k})| \leq 2^{k} \), on peut donc écrire :

\( \frac{|~~\{~~\frac{k}{n} \in I |~~ pgcd(n,k)=1\}|}{\phi(n)}=\frac{C(n)}{\phi(n)} |I|+o(1) \) avec \( C(n) \) qui dépend seulement de \( n \), car \( \frac{2^{k}}{\phi(n)}=o(1) \) , ceci étant vrai pour tout intervalle \( I \) , en particulier pour \( I=[0,1] \) il vient que \( \frac{C(n)}{\phi(n)}=1+o(1) \) par suite \( \frac{|~~\{~~\frac{k}{n} \in I |~~ pgcd(n,k)=1\}|}{\phi(n)}=|I|+o(1) \) ce qui permet de conclure.
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » dim. sept. 23, 2018 4:53 pm

Intuitive mais difficile:

Soit \( f: [0,1] \to [0,1]^{2} \) , \( g:[0,1] \to [0,1]^{2} \) continues qui relient \( (0,0) \) à \( (1,1) \) et \( (1,0) \) à \( (0,1) \) respectivement.

Montrer que \( f([0,1]) \cap g([0,1]) \) est non vide.
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