Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » jeu. janv. 17, 2019 9:46 pm

Siméon a écrit :
lun. janv. 14, 2019 5:18 pm
Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.
jolie pourquoi le simple fait d'avoir ajouter une hypothèse sur $ K $ donne autant d'information sur la fonction ?

soit $ x\in \mathbb{R} $ pour tout $ n \in \mathbb{N}^{*} $ on dispose de $ (a_{n},b_{n}) \in K $ de sorte que :

$ a_{n}x+b_{n}+\frac{1}{n} \geq \phi(x) \geq a_{n}x+b_{n} $ , comme $ K $ est compacte la suite $ (a_{n},b_{n})_{n\geq 1} $ admet au moins une valeur d'adhérence disons $ (a(x),b(x)) $ , il vient que $ \phi(x)=a(x)x+b(x) $ en faite toute valeur d'adhérence de la suite fournit une égalité du même type. De là je ne vois pas comment exploiter la convexité pour aller plus loin, y' a-t-il une histoire de transformé de Legendre derrière ?

une autre observation si par exemple $ \phi(x)=\max(mx+m', nx+n') $ avec $ m<n $, si $ (u,v) $ sont les coordonnées du point d'intersection des droites $ y=mx+m' $ et $ y=nx+n' $ , toute les droites de la forme $ y=v+t(x-u) ;~~m<t<n $ sont des minorants de $ \phi $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par darklol » ven. janv. 18, 2019 2:42 am

Siméon a écrit :
lun. janv. 14, 2019 5:18 pm
Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.
J’espère que cette preuve est juste (à peine quelques mois sans maths et déjà l’impression de n’en avoir jamais fait):
SPOILER:
Comme indiqué par Dattier, $\varphi$ est convexe comme $\sup$ de fonction convexes, donc dérivable à droite et à gauche en tout point (l'ensemble de départ $\mathbb{R}$ étant ouvert). On fixe $x \in \mathbb{R}$.

On note $A_x = \{ (a^*,b^*) \in K; a^*x + b^* = \varphi(x) \}$ qui est non vide par compacité de $K$. Pour tout $t > 0$ et $(a^*, b^*) \in A_x$, on a $\varphi(x + t) \geq a^*(x + t) + b^*$ par définition de $\varphi(x+t)$. Donc:
$\frac{\varphi(x + t) - \varphi(x)}{t} \geq \frac{a^*(x+t) + b^* - \varphi(x)}{t} = \frac{a^*(x+t) + b^* - a^*x - b^*}{t} = a^*$
donc en passant à la limite: $\varphi'_d(x) \geq a^*$ et ce pour tout $a^*$. De même, on obtient $\varphi'_g(x) \leq a^*$ pour tout $a^*$. Cela donne une condition nécessaire: si $\varphi$ est dérivable en $x$, alors nécessairement $|A_x| = 1$ (remarquons que $b^*$ est déterminé par $a^*$).

Réciproquement, on suppose que $A_x = \{(a^*, b^*)\}$. Soit $(t_n)$ une suite strictement positive qui tend vers $0$. Pour tout $n$, par définition de $\varphi(x + t_n)$ et comme $t_n^2 > 0$, il existe $(a_n, b_n) \in K$ tel que $\varphi(x + t_n) \geq a_n (x + t_n) + b_n \geq \varphi(x + t_n) - t_n^2$. Par continuité de $\varphi$ et théorème des encadrements, on a $a_n (x + t_n) + b_n \to \varphi(x)$. Quitte à extraire, on peut supposer que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent dans $K$ et on en déduit $(\lim a_n) x + \lim b_n = \varphi(x) = a^* x + b^*$ donc $\lim a_n = a^*$ par unicité. Enfin, on a:
$\frac{\varphi(x + t_n) - \varphi(x)}{t_n} \leq \frac{a_n(x+t_n)+b_n + t_n^2 - \varphi(x)}{t_n} \leq \frac{a_n(x +t_n) + b_n + t_n^2 - a_n x - b_n}{t_n} = a_n + t_n$
soit donc en passant à la limite: $\varphi'_d(x) \leq a^*$. On fait à peu près la même chose pour montrer que $\varphi'_g(x) \geq a^*$ ce qui conclut car pour une fonction convexe, $\varphi'_d(x) \geq \varphi'_g(x)$.

Conclusion: $\varphi'(x) = \text{argsup}\{ax + b | (a,b) \in K\}[0]$ là où ce $\text{argsup}$ est unique, et est non dérivable ailleurs.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » ven. janv. 18, 2019 4:14 am

Bonjour @darklol je suis passer par cette piste, du taux de variation... je vois mal pourquoi c'est les mêmes $ a^{*} $ que vous utilisez pour $ \phi(x+t) $ et $ \phi(x) $ vu que les $ a^{*} $ dépendent de $ x $ sauf erreur de ma part auquel cas je m'en excuse.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par darklol » ven. janv. 18, 2019 9:35 am

@oty20 $a^*$ est en effet lié à $x$, mais quand je parle de $\varphi(x+t)$, je n’écris que des inégalités qui viennent directement de la définition d’un sup (le couple $(a^*,b^*)$ étant dans ce cas là un élément de $K$ comme un autre). À aucun moment je ne parle d’éléments de l’ensemble que j’aurais noté $A_{x+t}$ (qui est en effet a priori différent de l’ensemble $A_x$).
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. janv. 18, 2019 11:14 am

Je reviens sur cet énoncé, pour en donner un plus général (et peut-être un peu plus clair) :
Si un ensemble de fonctions continues de $ [0,1] $ dans $ \mathbb R $ n'a pas de point d'accumulation pour la topologie de la convergence uniforme, alors il est de cardinal au plus dénombrable.
Indication : base d'ouverts formée des intersections finies de
$$ U(a,b,c,d)=\{ f\in C^0([0,1],\mathbb R)\mid \forall x\in [a,b]\cap [0,1]\ \ f(x)\in{]c,d[}\} $$pour $ a<b $ et $ c<d $ rationnels.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. janv. 18, 2019 12:59 pm

N'importe quoi ! Pourrais-tu arrêter tes délires, Dattier ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. janv. 18, 2019 2:36 pm

J'ai indiqué plus haut comment l'absence de point d'accumulation entraîne la dénombrabilité pour une partie de l'espace des fonctions continues de $ [0,1] $ dans $ \mathbb R $. C'est classiquement lié au fait qu'on a une base dénombrable de la topologie.
Dattier avait posé un problème plus restreint (uniquement fonctions convexes, et valeurs dans $ [0,1] $). Peut-il expliquer en quoi ça simplifie la démonstration ? La démonstration du résultat général n'est pas très compliquée.
Un peu de mathématiques, ça nous changerait agréablement des délires.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. janv. 18, 2019 3:05 pm

Dattier : tu t'attribues des trucs absolument classiques. C'est un peu pénible de supporter ton ego surdimensionné, allié à une méconnaissance du sujet. Tu ferais bien de regarder cette page wikipedia sur les espaces séparables, par exemple.

Par ailleurs tu ne réponds absolument pas à ma question. Pourquoi insistes-tu sur la convexité dans la question que tu as posée dans ce fil ?

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Message par GaBuZoMeu » ven. janv. 18, 2019 3:15 pm

Pourquoi insistes-tu sur la convexité dans la question que tu as posée dans ce fil ?

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Message par GaBuZoMeu » ven. janv. 18, 2019 3:31 pm

La démonstration du résultat général que j'ai esquissée se fait entièrement à l'intérieur du programme de MP (y compris les notions nécessaires sur la dénombrabilité).
Maintenant, je suis curieux de savoir comment l'hypothèse de convexité des fonctions permet de simplifier drastiquement la démonstration. C'est ça que je te demande.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. janv. 18, 2019 3:44 pm

Comme très souvent, mis au pied du mur, tu te dérobes.
Tant pis pour toi, si jamais tu avais une idée intéressante.
PS. Je connais une démonstration assez simple d'un résultat plus général que celui de ta question sur ce fil (je ne prétends aucunement que cette démonstration soit originale, puisqu'il s'agit de choses bien classiques). Je m'en contente parfaitement.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » ven. janv. 18, 2019 4:50 pm

darklol a écrit :
ven. janv. 18, 2019 9:35 am
@oty20 $a^*$ est en effet lié à $x$, mais quand je parle de $\varphi(x+t)$, je n’écris que des inégalités qui viennent directement de la définition d’un sup (le couple $(a^*,b^*)$ étant dans ce cas là un élément de $K$ comme un autre). À aucun moment je ne parle d’éléments de l’ensemble que j’aurais noté $A_{x+t}$ (qui est en effet a priori différent de l’ensemble $A_x$).
Ah oui! j'avais vite abandonné ce chemin à cause de cela, je sais pas pourquoi j'avais oublié que le sup était sur tous les couples dans $ K $, comme $ K $ est en particulier fermé, on pouvait avoir des inégalités en travaillant avec un seul couple.

Merci beaucoup et Bravo :)

Merci @Siméon pour ce jolie problème.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » ven. janv. 18, 2019 6:31 pm

Vrai ou faux :

pour toute suite $ (x_{n})_{n\geq 1} $ de réels positifs tel la série $ \sum x_{n} $ est divergente, est-il-possible de trouver une sous-suite $ (x_{\phi(n)})_{n\geq 1} $ de sorte que $ \sum_{n=1}^{\infty} x_{\phi(n)}=+\infty $ et $ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\phi(n)} = 0 $ ?
Modifié en dernier par oty20 le sam. janv. 19, 2019 12:55 am, modifié 1 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » ven. janv. 18, 2019 11:47 pm

oty20 a écrit :
ven. janv. 18, 2019 6:31 pm
Vrai ou faux :

pour toute suite $ (x_{n})_{n\geq 1} $ de réels positifs divergente, est-il-possible de trouver une sous-suite $ (x_{\phi(n)})_{n\geq 1} $ de sorte que $ \sum_{n=1}^{\infty} x_{\phi(n)}=+\infty $ et $ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\phi(n)} = 0 $ ?
SPOILER:
Vrai : $(x_n)$ ne converge pas vers $0$, donc il existe $\epsilon _{0} > 0$ et une extractrice $\psi$ tels que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $x_{\psi(n)} > \epsilon_{0}$. On a alors $\sum_{n=1}^{+ \infty} x_{\psi(n^2)} = + \infty$ et $\left |{\frac{n}{\psi(n^2)}} \right | \leq \frac{n}{n^2} \rightarrow 0$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » sam. janv. 19, 2019 12:56 am

désolé c'est la série qui diverge et non la suite j'ai édité le problème.
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