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Re: Exos sympas MP(*)

Posté : sam. nov. 17, 2018 5:19 pm
par Dattier
Bonjour,

@dSP : pourquoi cela, les outils qu'utilisent Bobby sont aux programmes de MP* non ?

Bonne journée.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : sam. nov. 17, 2018 5:34 pm
par BobbyJoe
En dimension $ $$1$, il y a une preuve ad-hoc (fondée sur l'inégalité triangulaire) par récurrence sur le nombre de points du support de la loi $ $$X,$ en supposant que $ $$X$ est uniforme (ce qui implique le cas général par la loi des grands nombres)... mais c 'est fastidieux!

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : sam. nov. 17, 2018 6:58 pm
par Dattier
Peut-être existe-t-il une preuve plus élégante que dSP a en tête ?

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : sam. nov. 17, 2018 9:03 pm
par oty20
dSP a écrit :
sam. nov. 17, 2018 5:09 pm
Si c'est la démonstration attendue, alors cet exercice est de mauvais goût...
Non non pour l'exercice tel qu'il est posé c'est accessible niveau prepas, D'ailleurs il existe une preuve dans le nouveau livre de Roger Mansuy...

j'en connais deux autres en dimension 1, une aussi accessible une autre un peu moins car repose sur une transformée de Fourier

@Bobbyjoe auriez-vous une jolie interprétation de ce résultat ? Merci

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : sam. nov. 17, 2018 10:08 pm
par BobbyJoe
Si la norme $ $$\|.\|$ sous-jacente est euclidienne, on peut s'intéresser au pendant de cette inégalité pour les norme $ $$p$ : le cas de la norme $2$ (i.e. $ $$\displaystyle \mathbb{E}\left[ \|X-Y\|^{2} \right] \leq \mathbb{E}\left[ \|X+Y \|^{2}\right]$ est amusant, le cas $ $$p=\infty$ aussi (les autres cas s'obtiennent par interpolation).
Je dirais qu'une interprétation possible mais "naze" du résultat est :
si l'on tire deux sommets $ $$M,M'$ aléatoirement suivant la loi de $ $$X$, le triangle $ $$OMM'$ est en moyenne aigu en $ $$O.$

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : sam. nov. 17, 2018 11:28 pm
par oty20
La preuve dans le livre cité plus haut est exactement celle que vous avez proposé , en dimension 1.

On peut se passer de l'identité qui semble parachuté, en faisant la constatation que :
$ |X+Y|-|X-Y|=2\min(X,Y) sign(XY) $ et donc la différence entre les deux membres de l’inégalité peut être écrite comme :

$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2 \int_{0}^{\infty} [P(|X|\geq t, |Y|\geq t, XY\geq 0)-P(|X|< t, |Y|< t, XY< 0)]dt $

Comme $ P(Z \geq t)=P(Z >t) $ presque partout, Compte tenue des hypothèses il vient que :
$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2\int_{0}^{\infty} [P(X \geq t)]^{2}+ [P(X \leq -t)]^{2}-2P(X \geq t)P(X \leq -t) dt
\\~~~~~~~=2\int_{0}^{\infty} [P(X\geq t)-P(X \leq -t)]^{2} dt \geq 0 $

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 10:06 am
par dSP
Dattier a écrit :
sam. nov. 17, 2018 5:19 pm
Bonjour,

@dSP : pourquoi cela, les outils qu'utilisent Bobby sont aux programmes de MP* non ?

Bonne journée.
Cela ne vous pose aucun problème que la démonstration proposée soit fondée sur une identité parachutée totalement introuvable ?

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 10:53 am
par Siméon
Tiens @oty20, ça me rappelle quelque chose : https://math.stackexchange.com/question ... 701#414701
Une source est-elle indiquée pour cette démonstration ?

Une autre discussion qui montre que ceci découle en fait d'un résultat de dispersion plus général : http://www.les-mathematiques.net/phorum ... msg-872787

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 1:29 pm
par Dattier
dSP a écrit :
dim. nov. 18, 2018 10:06 am
Cela ne vous pose aucun problème que la démonstration proposée soit fondée sur une identité parachutée totalement introuvable ?
BobbyJoe a expliqué comment obtenir l'identité.

Ensuite dans toutes les explications de maths que j'ai put lire, il est rare que l'on motive l'utilisation de tel ou tel étape, on le fait et cela marche (point)

Je suis d'accord qu'au niveau didactique c'est nul, on a l'impression d'un parachutage, mais c'est ainsi que procéde la plus part des matheux, en effet l'idée est en général motivé par un cadre non mathématique, donc le faire donne l'impression que cela enleverait tout sérieux au propos, cela me rappelle cet interview d'un célèbre catégoricien français :

Jean Benabou :
"Pendant un temps je me suis posé la question suivante : est-ce que à la logique traditionnelle, on ne pourrais pas rajouté des connecteurs ou des quantificateurs nouveau, mais que l'on pourrait traité exactement, de manière mathématique. Parce que il me semblait que dans le langage courant, il y avait des choses qui avaient une vertu logique, par exemple : "trés", le mot "trés", trés grand, ect...
On sens bien qu'il y a une logique du trés, et j'ai voulus essayer de comprendre cette logique du trés, étant entendu qu'il fallait qu'elle soit mathématiquement sans contradiction.
Et j'ai travailllé là-dessus, et j'ai écris, parce que j'étais bloqué à un endroit, en collaboration avec Bruno Loiseaux, un article qui s'appelle : orbits and monoïds in the topos.
Et Louvir a été le reviewer pour la publication et il l'a trouvé trés bon. Et il m'a dit mais d'où t'es venu l'idée.
Jamais, j'allais pas me dénoncé et me compremettre en disant : je voulais étudier le trés."

extrait de cette vidéo à 55:00 : https://www.youtube.com/watch?v=biQKcTmsIwY

oty20 a écrit :
sam. nov. 17, 2018 5:17 am
Montrer que : $ E(|X-Y|) \leq E(|X+Y|) $
En fait ce problème revient à dire que (je parle de la généralisation dont parle BobbyJoe, en me réfèrant au lien donné par Siméon)

Si $ ||.|| $ norme euclidenne de $\mathbb R^n$, $\{x_1,...,x_m\} \subset \mathbb R^n$
$\sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i-x_j|| \leq \sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i+x_j|| $

@Oty : le livre a été publié quand ?

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 2:21 pm
par Dattier
oty20 a écrit :
sam. nov. 17, 2018 11:28 pm
On peut se passer de l'identité qui semble parachuté, en faisant la constatation que :
$ |X+Y|-|X-Y|=2\min(X,Y) sign(XY) $ et donc la différence entre les deux membres de l’inégalité peut être écrite comme :
Elle n'est pas parachuté, c'est une question que j'avais soulevé ici :
viewtopic.php?p=937260#p937260

Pour résoudre ces 2 problèmes il faut savoir que :
1/ |x|=max(-x,x)
2/ -max(x,y)=min(-x,-y)
3/ max(x,y)+b=max(x+b,y+b)

En fait on a une algébre exotique (j'avais vu cela dans une conf sur internet donné à l'X)
avec "max(a,b)" l'addition et "a+b" la mutiplication.

Et cela permet de retrouvé la forme donner par l'auteur, et dans le cas de l'énigme que j'avais donner un système de programmation linéaire à maximiser (c'est un classique pour lequel il existe un algo qui fait le calcul).

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 2:24 pm
par noro
Dattier a écrit :
dim. nov. 18, 2018 1:29 pm

En fait ce problème revient à dire que (je parle de la généralisation dont parle BobbyJoe, en me réfèrant au lien donné par Siméon)

Si $ ||.|| $ norme euclidenne de $\mathbb R^n$, $\{x_1,...,x_m\} \subset \mathbb R^n$
$\sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i-x_j|| \leq \sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i+x_j|| $

@Oty : le livre a été publié quand ?
C'est faux il suffit de prendre n=1, m=2, x=1, y=-2 alors |x-y| > |x+y|

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 2:45 pm
par Dattier
noro a écrit :
dim. nov. 18, 2018 2:24 pm
C'est faux il suffit de prendre n=1, m=2, x=1, y=-2 alors |x-y| > |x+y|
On prend X={1,-2}

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i-x_j|=3+3+0+0=6$

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i+x_j|=1+1+4+2=8$

Tu as dû oublier les cas $|x_i+x_i|$

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 3:11 pm
par noro
Dattier a écrit :
dim. nov. 18, 2018 2:45 pm
noro a écrit :
dim. nov. 18, 2018 2:24 pm
C'est faux il suffit de prendre n=1, m=2, x=1, y=-2 alors |x-y| > |x+y|
On prend X={1,-2}

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i-x_j|=3+3+0+0=6$

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i+x_j|=1+1+4+2=8$

Tu as dû oublier les cas $|x_i+x_i|$
Oui tu as raison j'ai mal lu :(

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 3:35 pm
par oty20
Siméon a écrit :
dim. nov. 18, 2018 10:53 am
Une source est-elle indiquée pour cette démonstration ?
En faite ce problème est apparu dans la compétition Miklós Schweitzer en 1990 , cela m'avait choqué de le voir apparaitre dans un livre de prépas , je ne connais que les initiales de l'auteur T.F.MÓRI , la solution que j'ai présenté est la solution de l'auteur.

D'ailleurs il y a une compétition qui a récemment vu le jour en France, dont l'idée je pense est inspiré de cette compétition

@Dattier le livre est sortie juillet 2018 il me semble.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : dim. nov. 18, 2018 3:47 pm
par oty20
Dattier a écrit :
dim. nov. 18, 2018 1:29 pm
En fait ce problème revient à dire que (je parle de la généralisation dont parle BobbyJoe, en me réfèrant au lien donné par Siméon)

Si $ ||.|| $ norme euclidenne de $\mathbb R^n$, $\{x_1,...,x_m\} \subset \mathbb R^n$
$\sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i-x_j|| \leq \sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i+x_j|| $

@Oty : le livre a été publié quand ?


On peut démontrer cet exo avec une méthode similaire à la démonstration du précédent exercice, et c'est plutôt classe :mrgreen: