Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » sam. janv. 12, 2019 2:46 am

Joyeuse année 2019:
Que vaut :

$ \int_{1}^{2019} (x-1)(x-2)...(x-2019)dx $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. janv. 12, 2019 12:48 pm

Bonjour et bonne année également,
SPOILER:
$ A=\int_{1}^{2019} (x-1)(x-2)...(x-2019)dx $
On procéde au changement de variable : $t=x-1-\dfrac{2018}{2}$
$A=\int_{-1009}^{1009} (t+1009)\times ... \times (t-1009) \text{d}t=\int_{-1009}^{1009} f(t) \text{d}t=0$
car la fonction $f$ est impair.

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. janv. 12, 2019 1:07 pm

2 petites dattes pour la nouvelle année :

Equivalent composé :

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+5x+3}{x+2}$. Déterminer un équivalent  de $(f^n(1))_n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.



Bataille de Tours :

a/ Soit $U_n$ une tour de puissance de 2 de hauteur $n$, $V_n$ une tour de puissance de 3 de hauteur $n-1$. Déterminer  $\lim\dfrac{U_n}{V_n}$.

b/ Soit $U_n$ une tour de puissance de 2 de hauteur $n$, $V_n$ une tour de puissance de 3 de hauteur $n-2$. Déterminer  $\lim\dfrac{U_n}{V_n}$.

$U_3=2^{2^2}$

btsix
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » sam. janv. 12, 2019 2:41 pm

Bonne année.

Pour l'équivalent :
SPOILER:
On pose $ u_{n} = f^{n}(1) $, de sorte que $ u_{0} = 1 $ et $ u_{n+1} = f(u_{n}) $. On définit f sur $ ]0, +\infty[ $, ensemble stable. $ (u_n) $ est ainsi bien définie et (strictement) positive.
Si elle converge, sa limite $ l $ vérifie $ l = f(l) $ par continuité de $ f $, donc vaut $ -1 $, ce qui est impossible.
$ f $ est dérivable et $ f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 7}{(x+2)^2} > 0 $, donc $ f $ croît strictement.
$ u_0 = 1 < 3 = u_1 $ donc par récurrence $ u_n < u_{n+1} $. $ (u_n) $ croît, donc tend vers $ + \infty $.
Donc $ u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 3}{u_n + 2} $tend vers $ 3 $. Enfin, par sommation des équivalents (ou Cesaro), $ u_n \sim 3n $.
Modifié en dernier par btsix le dim. janv. 13, 2019 2:44 pm, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. janv. 12, 2019 2:46 pm

Je ne connais pas le résultat que tu utilises pour conclure, si tu as un nom pour ce résultat ou une justification je suis preneur.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. janv. 12, 2019 2:55 pm

Ok, c'est une somme de Césaro.

Bravo.

btsix
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » sam. janv. 12, 2019 3:01 pm

SPOILER:
La sommation des équivalents est au programme de MP. Cesàro en est un corollaire, qui je crois est hors-programme.
https://ibb.co/JF6hLQ5

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » sam. janv. 12, 2019 3:04 pm

Ok, merci pour la précision.


édit : tu as raison (c'est la série et non la suite dont il est question pour la divergence).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Bidoof » dim. janv. 13, 2019 8:09 pm

Salut à tous !
Un petit exercice visuel : Montrer qu'une fonction convexe est le sup des droites qui la minorent.
$ \varphi(x) = sup_{a,b \in R ; D_{a,b} \le \varphi} \{ax+b\}$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. janv. 14, 2019 2:47 pm

Salut,
SPOILER:
je note ta fonction convexe $ f $ alors :

$\forall a,x \in \mathbb R, f(a+x) \geq f'_d(a) x+ f(a)$ avec $f'_d(a)$ la dérivée à droite de $f$ en $a$.

Ce qui justifie l'inégalité entre le sup et la fonction

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » lun. janv. 14, 2019 5:18 pm

Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. janv. 14, 2019 7:22 pm

SPOILER:
$f$ est convexe comme sup de fonction convexe.
Donc $f$ est dérivable partout sauf sur une partie dénombrable de $\mathbb R$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » lun. janv. 14, 2019 7:46 pm

SPOILER:
On peut se demander si le maximum de $ ax+b $ est atteint pour un seul ou plusieurs couples $ (a,b)\in K $.

Mathoss
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mathoss » lun. janv. 14, 2019 8:04 pm

Salut, un petit exercice pour la forme!
Soit (A,+,x) un anneau commutatif possédant exactement n>=2 diviseurs de zéro, montrer que A est fini de cardinal <= n^2.
2016-2017 TS Spé Maths
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. janv. 14, 2019 9:32 pm

@GBZM :
SPOILER:
tant qu'il existe au moins 2 couples $(a_1,b_1) \in K$ et $(a_2,b_2) \in K$ avec $a_2\neq a_1$ alors le maximum sera atteint pour plusieurs couples de $K$, selon la valeur de $x$

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