Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. janv. 29, 2019 8:13 am

Dattier a écrit :
lun. janv. 28, 2019 6:37 pm
une nouvelle datte :

Soit $E$ un e.v euclidien de dim finie $n$ tel que $U=\{u_1,...,u_k\}\subset E$ et $\forall i\neq j \in \{1,...,k\}, ||u_i-u_j||=1$.
a/ A-t-on alors $n+1\geq k$ ?
b/ Si oui, la borne $n+1$ peut-elle être atteinte par $k$ ?
Succulente datte :D, pour chaque $ u\in U $ on lui associe le polynôme $ f_{u}(x)=||x-u||^{2}-1~~, x \in \mathbb{R}^{n} $, nous intuitons que la famille de polynômes $ (f_{u}(x))_{u\in U} $ est indépendantes.

En effet, supposons $ \sum _{u \in U} t_{u}f_{u}(x)= 0 $ comme pour tout $ v\in U , v \neq u : f_{u}(v)=0 $ il vient que

$ \sum_{u \in U} t_{u}f_{u}(v)=t_{v}f_{v}(v) $ et donc $ t_{v}=0 $, ce qui permet de conclure.

Pour conclure, nous aimerions majorer la dimension de l'espace vectoriel contenants les polynômes que nous avons défini.

Si on développe $ f_{u}(x)=||x-u||^{2}-1= \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-u_{i})^{2} -1= \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-2\sum_{i=1}^{n} x_{i} u_{i}+\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-1 $ , la famille $ (1,x_{1},...,x_{n}) $ est génératrice de ces polynômes elle contient $ n+1 $ vecteur , par suite $ dim(vect\{f_{u}(x),~~u \in U\})\leq n+1 $ , ce qui permet de conclure que $ k \leq n+1 $ , sauf erreur .
Modifié en dernier par oty20 le mar. janv. 29, 2019 2:09 pm, modifié 4 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » mar. janv. 29, 2019 9:09 am

Pas mal oty20, mais ça se gâte un peu à la fin : ta famille libre de $ k $ polynômes n'est pas contenue dans $ \mathrm{Vect}(1,x_1,\ldots,x_n) $ puisque ces polynômes sont de degré $ 2 $ ! Il faudrait au moins ajoute dans la liste génératrice $ \sum_{i=1}^n x_i^2 $, et alors on n'obtient que $ k\leq n+2 $.

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Siméon
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » mar. janv. 29, 2019 10:49 am

Esquisse pour le 949757 :
SPOILER:
En considérant la matrice de $ (u_2-u_1,\dots,u_k-u_1) $ dans une base orthonormale fixée, ceci se ramène à l'existence de $ M \in \mathcal M_{n,k-1}(\mathbb R) $ telle que ${}^tMM = G$ avec pour tous $(i,j) \in [\![1,k-1]\!]^2$, $G_{i,i} = 1$ et $G_{i,j} = \frac12$ si $i \neq j$. Cette matrice $G$ est symétrique et définie positive (ses valeurs propres sont $\frac k2$ avec multiplicité $1$ et $\frac12$ avec multiplicité $k-2$). Donc nécessairement $k-1 \leqslant \mathrm{rg}(M) \leqslant n$, et l'existence de $M$ pour $k = n + 1$ équivaut à l'existence d'une base orthonormale pour le produit scalaire associé à $G$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. janv. 29, 2019 2:00 pm

GaBuZoMeu a écrit :
mar. janv. 29, 2019 9:09 am
Pas mal oty20, mais ça se gâte un peu à la fin : ta famille libre de $ k $ polynômes n'est pas contenue dans $ \mathrm{Vect}(1,x_1,\ldots,x_n) $ puisque ces polynômes sont de degré $ 2 $ ! Il faudrait au moins ajoute dans la liste génératrice $ \sum_{i=1}^n x_i^2 $, et alors on n'obtient que $ k\leq n+2 $.
Merci Cher @GaBuzoMeu , $ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} $ vous avez entièrement raison j'ai rédigé à 7h du matin....

Dommage
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. janv. 29, 2019 2:34 pm

GaBuZoMeu a écrit :
mar. janv. 29, 2019 9:09 am
Pas mal oty20, mais ça se gâte un peu à la fin : ta famille libre de $ k $ polynômes n'est pas contenue dans $ \mathrm{Vect}(1,x_1,\ldots,x_n) $ puisque ces polynômes sont de degré $ 2 $ ! Il faudrait au moins ajoute dans la liste génératrice $ \sum_{i=1}^n x_i^2 $, et alors on n'obtient que $ k\leq n+2 $.
Peut être que nous pouvons tout de même conclure si on pouvait montrer que $ dim (vect(f_{u}(x), u \in U) < n+2 $ , supposons par l'absurde que

$ (f_{u}(x))_{u \in U} $ est une base de l'espace vectoriel des polynômes formés par combinaison linéaire des listes$ H=\{ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}, x_{i}, 1 | i \in [[1,n]]\} $ et essayer d'exhiber un polynôme qui ne puisse pas être écrit comme combinaison linéaire des $ f_{u}(x) $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » mar. janv. 29, 2019 2:48 pm

@oty20 : je ne comprends pas. peux-tu être plus précis ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. janv. 29, 2019 2:57 pm

juste essayé d'exclure le cas $ k=n+2 $, si on considère par exemple $ p(x)=||x||^{2} $

on aurait :

$ \forall x \in \mathbb{R}^{n} : ||x||^{2}=\sum_{u \in U} s_{u} f_{u}(x) $

pour $ x=v \in U $ il vient que $ s_{v}=||v||^{2} $,.... on pourrait essayer de construire un $ x $ qui fait tomber cette égalité
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » mar. janv. 29, 2019 3:17 pm

Désolé, je ne comprends toujours pas.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » mer. janv. 30, 2019 12:35 am

GaBuZoMeu a écrit :
lun. janv. 28, 2019 11:44 am
@Nabuco : penses-tu que l'exercice tel que je l'ai formulé en trois questions dans ce message soit "dans l'esprit MP*" ? Il n'utilise que la définition de la continuité, Borel-Lebesgue pour [0,1], plus des notions sur la dénombrabilité.
Il n'est manifestement pas "dans l'esprit MP*", puisque la propriété de Borel-Lebesgue est explicitement hors-programme, comme indiqué sur le site prepas.org lui-même. Ou alors l'exercice
Soit $ (u_n)_{n \geqslant 1} $ une suite telle que $ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n + 1/n^2 $ pour tout $ n \geqslant 1 $. Montrer que $ (u_n) $ est convergente
est "dans l'esprit de la terminale S", puisqu'il peut se faire à coup de théorème des gendarmes et de suite auxiliaire bien parachutée.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » mer. janv. 30, 2019 1:56 am

V@J a écrit :
mer. janv. 30, 2019 12:35 am
GaBuZoMeu a écrit :
lun. janv. 28, 2019 11:44 am
@Nabuco : penses-tu que l'exercice tel que je l'ai formulé en trois questions dans ce message soit "dans l'esprit MP*" ? Il n'utilise que la définition de la continuité, Borel-Lebesgue pour [0,1], plus des notions sur la dénombrabilité.
Il n'est manifestement pas "dans l'esprit MP*", puisque la propriété de Borel-Lebesgue est explicitement hors-programme, comme indiqué sur le site prepas.org lui-même. Ou alors l'exercice
Soit $ (u_n)_{n \geqslant 1} $ une suite telle que $ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n + 1/n^2 $ pour tout $ n \geqslant 1 $. Montrer que $ (u_n) $ est convergente
est "dans l'esprit de la terminale S", puisqu'il peut se faire à coup de théorème des gendarmes et de suite auxiliaire bien parachutée.
Borel Lebesgue a beau être hors programme ça tombe souvent ça et là (cf sujet des mines y a Peu), et sur des segments c est beaucoup plus classique.
Très clairement le second exo n est pas esprit terminale s. Preuve en est il n y a qu une question. Aussi les suites en terminale sont quasiment toutes définies par récurrence, je ne crois pas avoir vu bcp de suites définies via des inégalités. Aussi le niveau demandé dépasse amplement le cadre de la terminale...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » mer. janv. 30, 2019 10:48 am

Bah, ça montre que je suis complètement en déphasage avec le programme actuel des des classes prépas ; il faut dire que mon dernier séjour en classes prépas remonte à 50 ans (côté élève). Mais même quand je faisais cours en amphi de 1er cyle (il y a moins longtemps, même si ça date !) j'enseignais Borel-Lebesgue sur un segment (avec la démonstration), par contre je ne parlais pas du théorème d'approximation de Weierstrass (même sans démonstration).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » mer. janv. 30, 2019 11:27 am

Nabuco a écrit :
mer. janv. 30, 2019 1:56 am
Aussi le niveau demandé dépasse amplement le cadre de la terminale...
Bah oui, mais le niveau des exercices proposés ici dépasse amplement le cadre de la MP*. Pas nécessairement quand ils sont détaillés sous formes de questions intermédiaires faisables (et non pas faciles) comme l'exercice de GaBuZoMeu que je citais ; mais les exos à la Dattier sont, pour la plupart, carrément infaisables tels quels, c'est-à-dire dans les conditions d'un écrit ou d'un oral de concours, par une écrasante majorité des élèves (y compris, bien sûr, parmi ceux admis à l'X ou dans une ENS).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mer. janv. 30, 2019 4:33 pm

Quelques fois il me semble que vos dattes reposent surtout sur des astuces plus que sur de la réflexion, surtout que cette astuce provient souvent d'un contexte plus général, c'est comme quand on visualise un paysage, si on est au sein de ce paysage on a du mal à en cerner toute l'étendue et la forme, alors que quand on le voit de loin en hauteur, on le cerne bien. L'astuce vient d"une vision de loin en hauteur, alors qu'un élève n'est que sur un coin de la surface.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » ven. févr. 01, 2019 4:27 pm

Je ne suis certainement pas le mieux qualifié pour répondre. Pour la plupart de tes questions, je dirais que la réponse est clairement non en MP. Surtout celles qui sont formulées de manière ouverte (ceci démultiplie la difficulté). Même dans une très bonne MP*, je ne m'y risquerais pas sauf avec des élèves vraiment brillants et, bien sûr, en accompagnant la réflexion. En bref, je suis d'accord avec V@J.

Certaines questions peuvent toutefois être reformulées et découpées pour en faire des exercices formateurs (ce qui reste l'objectif des colles), par exemple celle-ci qui brasse pas mal de notions sur les espaces euclidiens.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » ven. févr. 01, 2019 7:04 pm

Ce serait dommage, je trouve que ce sont souvent de bonnes énigmes si on a un peu de temps devant soi. Je t'ai juste répondu sur la question « proposables comme colles en MP ».

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