Exos sympas MP(*)

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. janv. 14, 2019 10:29 pm

@Mathoss :
SPOILER:
Soit $n \in O$ dans l'ensemble des annulateurs de $0$, alors $f : A \rightarrow A$ $f(a)=a \times n$ avec$f$ est un morphisme de groupe pour l'addition,
et $\text{ker}f\subset O$ et $\text{Im} f \subset O$, donc $\text{card}(A)=o(\text{ker}f) \times o(\text{Im} f )\leq n \times n$

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. janv. 14, 2019 11:10 pm

J'offre un million d'euros a qui résoud cette énigme.
Dattier a écrit :
sam. janv. 12, 2019 1:07 pm
Soit $U_n$ une tour de puissance de 2 de hauteur $n$, $V_n$ une tour de puissance de 3 de hauteur $n-2$. Déterminer  $\lim\dfrac{U_n}{V_n}$.

$U_3=2^{2^2}$
PS: je vous paierais une fois que l'euro aura sauté... :mrgreen:

GaBuZoMeu
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » mar. janv. 15, 2019 12:06 am

@Dattier : plus haut, je parlais bien entendu du maximum de $ ax+b $ à $ x $ fixé.
Je suis intervenu parce que je suis convaincu que tu n'as pas donné la réponse que Siméon attendait.

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. janv. 15, 2019 12:21 am

Oui, il faut faire attention au indice :

$h>0$
$T(x,h)=f(x+h)-f(x)=\sup\{ax+ah+b \text{ | } (a,b)\in K\}-\sup\{ax+b \text{ | } (a,b)\in K\}$
en utilisant 2/ $T(x,h)=\sup\{ax+ah+b-\sup\{ax+b \text{ | } (a,b)\in K\} \text{ | } (a,b)\in K\} $
en utilisant 1/ $T(x,h)=\sup\{ax+ah+b+\inf\{-cx-d \text{ | } (c,d)\in K\} \text{ | } (a,b)\in K\}$
en utilisant 3/ $T(x,h)= \sup\{\inf\{((a-c)x+(b-d)+ah \text{ |} (c,d) \in K\}\text{ | } (a,b)\in K\}$
on sait aussi que $T(x,h)/h$ a une limite quand $h$ tend vers 0.

Affaire à suivre...

édit: une maladresse de ma part, mais mon message initiale est cité par Nabuco.
Modifié en dernier par Dattier le mar. janv. 15, 2019 2:32 am, modifié 3 fois.

Nabuco
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » mar. janv. 15, 2019 1:24 am

Dattier a écrit :
mar. janv. 15, 2019 12:21 am
Là je pense que c'est mieux :
SPOILER:
Etudions le taux d'accroissement de $ f $, $h>0$
$T(x,h)=f(x+h)-f(x)=\sup\{ax+ah+b \text{ | } (a,b)\in K\}-\sup\{ax+b \text{ | } (a,b)\in K\}=\sup\{ax+ah+b-\sup\{ax+b \text{ | } (a,b)\in K\} \text{ | } (a,b)\in K\} $
$T(x,h)=\sup\{ax+ah+b+\inf\{-ax-b \text{ | } (a,b)\in K\} \text{ | } (a,b)\in K\} = \sup\{\inf\{ah \text{ |} (a,b) \in K\}\text{ | } (a,b)\in K\}=Ah$
avec $A=\min\{a \text{ | } (a,b)\in K\}$

On peut faire le même travaille pour $h<0$, et avoir la limite à droite et à gauche.
Ça me semble très faux au moment où tu te retrouves avec juste ah, tu aurais le droit de faire rentrer l.inf mais tu ne peux pas prendre l.inf et le sup sur a, b ils portent chacun sur un couple de paramètres distinct

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. janv. 15, 2019 2:14 am

J'utilise juste les 3 propriétés siuvantes :

1/ $-\sup(a\text{ | } a\in A)=\inf(-a\text{ | } a\in A)$

2/ $b+\sup(a\text{ | } a\in A)=\sup(a+b\text{ | } a\in A)$

3/ $b+\inf(a\text{ | } a\in A)=\inf(a+b\text{ | } a\in A)$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » mar. janv. 15, 2019 2:27 am

Dattier a écrit :
lun. janv. 14, 2019 11:10 pm
J'offre un million d'euros a qui résoud cette énigme.

PS: je vous paierais une fois que l'euro aura sauté... :mrgreen:
Dattier a écrit :
sam. janv. 12, 2019 1:07 pm
Soit $U_n$ une tour de puissance de 2 de hauteur $n$, $V_n$ une tour de puissance de 3 de hauteur $n-2$. Déterminer $\lim\dfrac{U_n}{V_n}$.

$U_3=2^{2^2}$
Je veux bien l'argent (au futur simple, pas au conditionnel) :
SPOILER:
Donc j'ai $ U_0 = 1, V_2 = 1 $ et $ U_{n+1} = 2^{U_n}, V_{n+1} = 3^{V_n} $. Déjà, il est clair que $ U_n, V_n \to \infty $. Puis, puisque $ U_2 = 4 $, une récurrence immédiate montre que $ U_n \geqslant 4 V_n \geqslant 4 $ : c'est vrai pour $ n = 2 $, et pour tout $ n \geqslant 2 $ on peut ensuite utiliser le fait que $ U_{n+1} = 2^{U_n} \geqslant 2^{4 V_n} = 16^{V_n} \geqslant 5^{V_n} 3^{V_n} \geqslant 4 V_{n+1} $. Mais alors on a même $ U_{n+1} / V_{n+1} \geqslant 5^{V_n} \to +\infty $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. janv. 15, 2019 2:35 am

V@J a écrit :
mar. janv. 15, 2019 2:27 am
Je veux bien l'argent (au futur simple, pas au conditionnel) :
L'euro va bien se cracher, rien dans ce monde n'est éternelle, quand ce sera le cas, je te donnerais 1 millions d'euro, c'est à dire 0 francs... :mrgreen:

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » mar. janv. 15, 2019 12:10 pm

GaBuZoMeu a écrit :
mar. janv. 15, 2019 12:06 am
Je suis intervenu parce que je suis convaincu que tu n'as pas donné la réponse que Siméon attendait.
La piste suggérée par GBZM me semble en effet plus prometteuse. À ce propos, pourriez-vous ajouter avant vos balises spoiler quelques mots précisant sa nature (indication, solution, etc.) ? Cela éviterait de devoir cliquer pour le découvrir.

certus
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par certus » mar. janv. 15, 2019 3:53 pm

Celui est à faire en MP*

W l'ensemble des matrices nilpotentes de M(n,C)

P polynôme de C[X] , P(0)=0 , P'(0) différent de zéro

Montrer que P:W------>W est une bijection

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. janv. 15, 2019 4:15 pm

@Certus :
SPOILER:
si $P(X)=a_1X+...+a_{n-1}X^{n-1}$ polynôme complexe tel que $a_1\neq 0$ alors il existe $Q \in \mathbb C[X]$, tel que $P(Q(X)) \mod X^n=Q(P(X)) \mod X^{n}=X$, donc la fonction associé à $Q$ est la fonction réciproque de $P$ des nilpotents à valeurs dans les nilpotents

certus
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Message par certus » mar. janv. 15, 2019 4:44 pm

@Dattier 20/20


nékicoul
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par nékicoul » mar. janv. 15, 2019 6:12 pm

Dattier a écrit :
lun. janv. 14, 2019 10:29 pm
@Mathoss :
SPOILER:
Soit $n \in O$ dans l'ensemble des annulateurs de $0$, alors $f : A \rightarrow A$ $f(a)=a \times n$ avec$f$ est un morphisme de groupe pour l'addition,
et $\text{ker}f\subset O$ et $\text{Im} f \subset O$, donc $\text{card}(A)=o(\text{ker}f) \times o(\text{Im} f )\leq n \times n$
Dattier a écrit :
mar. janv. 15, 2019 4:15 pm
@Certus :
SPOILER:
si $P(X)=a_1X+...+a_{n-1}X^{n-1}$ polynôme complexe tel que $a_1\neq 0$ alors il existe $Q \in \mathbb C[X]$, tel que $P(Q(X)) \mod X^n=Q(P(X)) \mod X^{n}=X$, donc la fonction associé à $Q$ est la fonction réciproque de $P$ des nilpotents à valeurs dans les nilpotents

tu pe pa rédigé kom siméon la jconpren rien
Modifié en dernier par nékicoul le mar. janv. 15, 2019 6:19 pm, modifié 1 fois.

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Message par Dattier » mar. janv. 15, 2019 6:14 pm

Tant pis pour toi, sinon demande à Siméon.

Tchuss.

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