Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

matmeca_mcf1
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » sam. mars 02, 2019 11:30 am

Une très bonne idée. Je ne sais pas si elle peut aboutir ou si on a besoin de résultats plus précis que "la marche change presque surement une infinité de fois de signes" pour pouvoir conclure. Mais comme c'est un Oral d'Ulm, le but n'est pas forcément de résoudre le problème mais d'exposer à l'examinateur vos idées pour attaquer le problème. Donc, ici, il faudrait expliquer à l'examinateur que vous voyez un lien avec les marches aléatoires, le fait qu'elles changent une infinité de fois de signe, et le lien intuitif entre le polynôme et la marche aléatoire.

Même si la piste n'est pas la bonne et que l'on ne peut pas conclure de cette manière ou qu'on a besoin de résultats plus précis sur le comportement des marches aléatoires, il est préférable pour le candidat d'expliquer à l'examinateur comment il pense attaquer le problème que de rester muet pendant une demi-heure devant le tableau parce qu'il n'a pas la solution complète.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » dim. mars 03, 2019 5:49 pm

l'XenY a écrit :
jeu. févr. 28, 2019 10:16 pm
Soit $ (\epsilon_{k}) $ une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes de Rademacher. Montrer que la fonction qui à x associe :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $

Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]
Bonjour,
très jolie problème voici une humble tentative, je prends $ u_{j}=\varepsilon_{j} $ pour simplifier l’écriture en latex.

Soit $ f(x)=\sum u_{j} x^{j}, P_n(x):=\sum_{j=1}^n u_j x^j, R_n:=\sum_{j=n+1}^\infty u_j x^j $. Il est bien connu que dans une marche aléatoire à une dimension on visite presque surement n'importe quel entier une infinité de fois . Par conséquent $ P_n(1), n=1,2,\dots $ prend une infinité de fois les valeurs $ 2 $ , $ -2 $.

Soit $ 0<x_1<1 $ tel que: $ f(x_1)>0 $ (le cas $ f(x_1)<0 $ est similaire). Soit $ n $ suffisamment grand tel que $ P_n(1)\leq -2 $. Ainsi pour$ x_2 $ suffisamment proche de $ 1 $, $ P_n(x_2)<-1 $. La probabilité que $ R_n(x_2) $ soit negative est $ \frac{1}{2} $, Ainsi on a 50-50 de chances que $ f(x_2)<-1 $. Si cela est le cas, on disposerait d'un zero de $ f(x) $ dans $ (x_1,x_2) $.

Puisque pour une infinité d'entiers $ n $l'inégalité $ P_n(1)\leq -2 $ est vérifié, on peut trouver presque surement $ x_2 $ de sorte que $ f(x_2)<-1 $.

En remplaçant $ x_1 $ par $ x_2 $ de manière similaire , on peut trouver $ x_1,x_2,\dots; x_i<1 $ ou $ f(x) $ change de signe

J'aurais besoin d'aide pour formaliser et mieux élaborer tout cela, Il y a cependant un petit ''crack'' dans cette approche. On est pas certain que les événement "$ R_n(x_i) $ est negative" sont indépendants.


Edit: je n'ai pas lu les commentaires qui viennent après le poste de l’énoncé du problème pour ne pas être influencer, je m'excuse s'il y a de la redondance.
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dSP
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par dSP » lun. mars 04, 2019 7:38 pm

Cet exo est très très coriace.

Une idée qui fonctionne (je ne donne pas tous les détails, seulement quelques grandes lignes).

On fixe $n$ dans $\mathbb{N}^*$. On prend arbitrairement deux entiers $p>m>n$ et un réel $x\in [0,1[$. On casse la somme en quatre (!) morceaux :
$f(x)=\sum_{i=1}^{n} \epsilon_i x^i+ \sum_{i=n+1}^{m} \epsilon_i x^i+\sum_{i=m+1}^{p} \epsilon_i x^i+\sum_{i=p+1}^{+\infty} \epsilon_i x^i$.
Le couple $(x,m)$ est ensuite ajusté de telle sorte que l'événement
$A:=(\sum_{k=n+1}^m \epsilon_i x^i > n+1)$ soit de probabilité minorée par $1/3$
(cela peut se faire sans théorème central limite, simplement en regardant le cas limite où $x=1$), tout en imposant d'avoir $x>1-1/n$.
Enfin, $p$ est ajusté pour que $\sum_{i=p+1}^{+\infty} x^i<1$.
Les événements $A$ et $(\sum_{i=m+1}^{p} \epsilon_i x^i \geq 0)$ sont indépendants, et le second est de probabilité au moins $1/2$ (symétrie). Par suite, $B:=(\sum_{k=n+1}^p \epsilon_i x^i > n+1)$ est de probabilité au moins $1/6$, et il implique
$(f(x)>0)$. Symétriquement, $C:=(\sum_{k=n+1}^p \epsilon_i x^i <-(n+1))$ est de probabilité au moins $1/6$, et il implique
$(f(x)<0)$.

En utilisant convenablement le lemme de Borel-Cantelli, on peut alors conclure (je reste volontairement succint)...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. mars 05, 2019 12:18 pm

Bonjour,

Puisqu'on est au chapitre des exos coriaces, je vous propose celui-ci :

Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] dans [0,1] telles que fog=gof.
Existe-t-il forcément (au moins) un x de [0,1] tel que f(x)=x=g(x) ?

Il n'est pas de moi, cela fait 2 semaines que j'y réfléchi, sans avoir trouvé la réponse.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. mars 05, 2019 12:45 pm

@Dattier ce lien: https://artofproblemsolving.com/communi ... 87p9206232
répond-t-il à ta question ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. mars 05, 2019 12:48 pm

Non, ce n'est pas tout à fait la même question, dans ton cas, on cherche à savoir s'il y a un point d'intersection entre les 2 graphes, dans le cas que je propose on veut en plus que ce point d'intersection soit un point fixe, pour les 2 fonctions.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Syl20 » mar. mars 05, 2019 1:14 pm

.
Modifié en dernier par Syl20 le mar. mars 05, 2019 1:22 pm, modifié 1 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par dSP » mar. mars 05, 2019 2:39 pm

Il existe bel et bien un tel couple de fonctions sans point fixe commun : un contre-exemple a été publié dans les années 1950 ou 1960, si ma mémoire ne me trompe pas. D'ailleurs ce sujet revient régulièrement sur le tapis sur le forum maths.net, n'hésitez pas à fouiller dans les archives.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. mars 05, 2019 2:44 pm

Si tu retrouves le contre-exemple je veux bien le connaître.

Je l'ai trouvé là : https://www.maths-forum.com/enigmes/ana ... l#p1339745

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. mars 05, 2019 4:49 pm

Dattier a écrit :
mar. mars 05, 2019 12:48 pm
Non, ce n'est pas tout à fait la même question, dans ton cas, on cherche à savoir s'il y a un point d'intersection entre les 2 graphes, dans le cas que je propose on veut en plus que ce point d'intersection soit un point fixe, pour les 2 fonctions.
vous avez lu la preuve de pco ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mar. mars 05, 2019 7:02 pm

oty20 a écrit :
mar. mars 05, 2019 4:49 pm
vous avez lu la preuve de pco ?
dSP vient de nous informer, qu'il existe un contre-exemple.

Deplus dans la preuve il fait un raisonnement par l'absurde, dont l'hypothése de départ est que les 2 courbes ne se coupent pas et il en déduit qu'il existe un point fixe commun aux 2 fonctions, je n'ai pas l'impression que cela nous avance beaucoup pour notre problème.

Si pour toi oui, tu peux me dire en quoi ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » mar. mars 05, 2019 7:56 pm

Dattier a écrit :
mar. mars 05, 2019 7:02 pm
oty20 a écrit :
mar. mars 05, 2019 4:49 pm
vous avez lu la preuve de pco ?
dSP vient de nous informer, qu'il existe un contre-exemple.

Deplus dans la preuve il fait un raisonnement par l'absurde, dont l'hypothése de départ est que les 2 courbes ne se coupent pas et il en déduit qu'il existe un point fixe commun aux 2 fonctions, je n'ai pas l'impression que cela nous avance beaucoup pour notre problème.

Si pour toi oui, tu peux me dire en quoi ?
Tu as raison : Oty s'est trompé dans l'interprétation du raisonnement proposé sur AOPS.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. mars 05, 2019 9:37 pm

oui effectivement, je m'excuse j'ai des problèmes de connexions au forum quand je suis sur le campus je ne sais pas pourquoi, je n'ai pas vu apparaitre le post de professeur @dsp, ni lu la solution de pco, je me suis contenté de voir $ f(b)=g(b)=b $ :lol:, en lisant maintenant cela ne marche effectivement pas, comme vous l'avez décrit.

Voici un exo d'ens lyon :

Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ bornée,

$ \exists A > 0 ,~~ \forall (x,t) \in \mathbb{R}^{2}:~~ |f(x+t)+f(x-t)-2f(x)| \leq A |t|. $

Montrer que :

$ \exists C > 0, \forall \delta \in ]0,\frac{1}{2}], \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} $ tel que si $ |x-y| \leq \delta $ Alors :

$ |f(x)-f(y)| \leq C \delta \ln(\frac{1}{\delta}) $
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NiN
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par NiN » mar. mars 05, 2019 10:18 pm

Cet article donne un contre-exemple (plutôt sophistiqué …) au problème du point fixe, avec quelques éléments historiques intéressants .

https://pdfs.semanticscholar.org/1650/e ... a9e187.pdf

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par l'XenY » jeu. mars 07, 2019 2:26 pm

Soit f une fonction continue de R dans R , localement constante sur le complémentaire dans R d'un fermé dénombrable. Montrer que f est constante.

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