Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Mathoss
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mathoss » jeu. mars 07, 2019 3:50 pm

Déjà,
On notera F le fermé dénombrable de R en question.
Étant dénombrable, E\F est connexe par arcs (exo classique). Ainsi, f est localement constante sur E\F qui est un ouvert connexe par arcs
On prend a dans f(E\F).
f étant localement constante sur E\F, f-1({a}) est ouvert. De plus, f-1({a}) est fermé comme image réciproque continue d'un fermé.
Ainsi, f-1({a}) est R tout entier puisque c'est une partie ouverte et fermée.
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Chronoxx
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Chronoxx » jeu. mars 07, 2019 3:52 pm

@l'XenY
?
SPOILER:
Un fermé $F$ dénombrable de $\mathbb{R}$ s'écrit sous la forme $F= \{ f_p, ... , f_{-1}, f_0, f_1, ... , f_q\}$ avec $...< f_{-1} < f_0 < f_1 < ...$ et $p,q\in\mathbb{Z}\cup\{ \pm \infty\}$.
Alors $\overline{F}$ est une union d'intervalles ouverts i.e $\overline{F} = \displaystyle\bigcup_{i = p}^{q-1} ]f_{i}, f_{i+1}[$.
$f$ est localement constante sur chacun de ces intevalles donc elle est constante sur chaque intervalle $]f_{i}, f_{i+1}[$. Disons $\forall x\in\overline{F}, f(x) = k$.
Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $\forall i \in [| p,q |],\displaystyle\lim_{x\rightarrow f_i} f(x) = k = f_{f_i}$.
Donc $f$ est contante.
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Nabuco
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » jeu. mars 07, 2019 3:59 pm

Chronoxx a écrit :
jeu. mars 07, 2019 3:52 pm
@l'XenY
?
SPOILER:
Un fermé $F$ dénombrable de $\mathbb{R}$ s'écrit sous la forme $F= \{ f_p, ... , f_{-1}, f_0, f_1, ... , f_q\}$ avec $...< f_{-1} < f_0 < f_1 < ...$ et $p,q\in\mathbb{Z}\cup\{ \pm \infty\}$.
Alors $\overline{F}$ est une union d'intervalles ouverts i.e $\overline{F} = \displaystyle\bigcup_{i = p}^{q-1} ]f_{i}, f_{i+1}[$.
$f$ est localement constante sur chacun de ces intevalles donc elle est constante sur chaque intervalle $]f_{i}, f_{i+1}[$. Disons $\forall x\in\overline{F}, f(x) = k$.
Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $\forall i \in [| p,q |],\displaystyle\lim_{x\rightarrow f_i} f(x) = k = f_{f_i}$.
Donc $f$ est contante.
Un fermé dénombrable n a aucune raison d être sous cette forme. Typiquement prend F composé de 0 1 et les +- 1/2^n et les 1+-1/2^n pour n dans N

Nabuco
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » jeu. mars 07, 2019 4:02 pm

Mathoss a écrit :
jeu. mars 07, 2019 3:50 pm
Déjà,
On notera F le fermé dénombrable de R en question.
Étant dénombrable, E\F est connexe par arcs (exo classique). Ainsi, f est localement constante sur E\F qui est un ouvert connexe par arcs
On prend a dans f(E\F).
f étant localement constante sur E\F, f-1({a}) est ouvert. De plus, f-1({a}) est fermé comme image réciproque continue d'un fermé.
Ainsi, f-1({a}) est R tout entier puisque c'est une partie ouverte et fermée.
Qui est E ici ? Si c est R ce n est absolument pas connexe par arcs.

matmeca_mcf1
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » jeu. mars 07, 2019 4:11 pm

C'est beaucoup plus compliqué. On a facilement que $ \mathbb{R}\setminus F $ est un ouvert de $ \mathbb{R} $ et donc une union dénombrable d'intervalles disjoints, ie, $$ \mathbb{R}\setminus F=\bigcup_{i=1}^{+\infty}I_i $$ où les $ I_i $ sont des intervalles disjoints. Comme $ f $ est localement constante sur $ \mathbb{R}\setminus F $, $ f $ est constante sur chaque intervalle $ I_i $.

Mais le plus dur reste à faire. On souhaite utiliser la continuité de $ f $ sur $ \mathbb{R} $. Mais on ne peut pas l'utiliser facilement si $ F $ est compliqué.

Que fait-on dans les cas suivants ?
$$
F=\{0\}\cup\bigcup_{k=1}^{+\infty}\left\{\frac{1}{k}\right\}.
$$
ou si
$$
F=\{0\}\cup\bigcup_{k=1}^{+\infty}\left(\left\{\frac{1}{k}\right\}\cup\bigcup_{\ell=k+1}^{+\infty}\left\{\frac{1}{k}+\frac{1}{\ell^2}\right\}\right).
$$
et on peut rendre $ F $ encore plus compliqué.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Syl20 » jeu. mars 07, 2019 4:16 pm

Il me semble que la conclusion reste la même si on suppose notre ensemble de départ $ F $ est uniquement dénombrable et non pas fermé et dénombrable : on pourra réfléchir au cas $ F=\mathbb{Q} $ par exemple.
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Nabuco
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » jeu. mars 07, 2019 4:37 pm

Syl20 a écrit :
jeu. mars 07, 2019 4:16 pm
Il me semble que la conclusion reste la même si on suppose notre ensemble de départ $ F $ est uniquement dénombrable et non pas fermé et dénombrable : on pourra réfléchir au cas $ F=\mathbb{Q} $ par exemple.
Montrer que l un implique l autre n est pas très dur en effet si f est continue sur R et localement constante sur le complémentaire d un ensemble au plus dénombrable A l ensemble des points sur lequel f est localement constante est ouvert et contient A car si f est constante sur un intervalle ouvert intersecté avec A elle est constante sur l intervalle ouvert tout court. On a donc f localement constante sur un ouvert de complémentaire au plus dénombrable

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » jeu. mars 07, 2019 5:17 pm

l'XenY a écrit :
jeu. mars 07, 2019 2:26 pm
Soit f une fonction continue de R dans R , localement constante sur le complémentaire dans R d'un fermé dénombrable. Montrer que f est constante.
Voici deux indices. Ensemble, ils donnent la solution. Ce sera plus facile de résoudre à partir de seulement l'indice 1. L'indice 2, pris seul, apparaîtra comme très cryptique.

Indice 1:
SPOILER:
Montrez que l'image de $ \mathbb{R} $ par $ f $, noté $ f(\mathbb{R}) $ est de cardinal au plus dénombrable.
Indice 2
SPOILER:
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par l'XenY » jeu. mars 07, 2019 5:23 pm

C'est bien ça en effet

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TheWorld
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par TheWorld » jeu. mars 07, 2019 11:48 pm

Un exercice un peu plus exotique
Montrer qu'il existe n entier naturel tel que l'écriture décimale de 2^n commence par 7
"C'est pas la prepa qui fait l'élève" dirent-ils sans vergogne

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Dattier
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. mars 08, 2019 12:19 am

$2^{46}=70368744177664$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. mars 08, 2019 12:33 am

A peine plus exotique :
Existe-t-il $n$ entier tel que $2^n$ commence par un $777$ ?

l'XenY
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par l'XenY » ven. mars 08, 2019 3:48 am

On peut en rajouter autant que l'on veut je crois

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par muirhead » ven. mars 08, 2019 10:54 am

Bonjour, je suis en TS.
Un exo sympa qui m'a été posé : s'il n'a pas sa place ici, faites-le moi savoir.
Déterminer les entiers $k$ premiers avec tous les termes de la suite $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

Zrun
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Zrun » ven. mars 08, 2019 5:48 pm

Dattier a écrit :
ven. mars 08, 2019 12:33 am
A peine plus exotique :
Existe-t-il $n$ entier tel que $2^n$ commence par un $777$ ?
Pourquoi prendre 777 et pas un entier quelconque m ?
Cependant, l’exo est intéressant. Je ne propose pas une solution détaillée , seulement les grandes idées ...
On note $ \theta = log_{10}(2) $. En utilisant la décomposition en facteurs premiers , on montre que $ \theta $ est irrationnel par l’absurde.
Ensuite, on montre que la suite $ |n\theta| $ est dense dans $ [0,1] $où $ || $ désigne la partie fractionnaire .
En écrivant m sous forme scientifique, par exemple 777=7,77x100, on peut alors conclure facilement en choisissant un n convenable assez grand
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