Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

burgerking
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par burgerking » ven. mars 08, 2019 5:52 pm

Bonjour,
Un exo que j’ai eu en colle :
On se place dans R^2 et on appelle longueur d’un arc g C1, si elle existe, l’intégrale de la norme de g' sur [0,1]. On appelle longueur d'un arc C0 si elle existe, le sup des longueurs des lignes brisées coincidant en n points (n variable) avec l'arc. On la note L(g). On admet que les deux définitions coincident sur les arcs C1.
On considère une application f qui va de A=(arcs du plans C0 de longueur finie) vers B=(variables aléatoires à valeurs naturelles) telle qu’il existe C>0, pour tout segment s du plan, E(f(s))=CL(s)
Montrer que pour tout g dans A, E(f(g))=CL(g)
Modifié en dernier par burgerking le ven. mars 08, 2019 6:55 pm, modifié 1 fois.

GaBuZoMeu
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. mars 08, 2019 6:35 pm

Bonjour,
N'est-ce pas plutôt l'intégrale de la norme de $ g' $ ? Et la dernière égalité, n'est-ce pas $ C\,L(g) $ plutôt que $ C\,L(s) $ ?
Enfin, on ne demande vraiment rien à $ f $ à part la propriété pour les segments ?

burgerking
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par burgerking » ven. mars 08, 2019 6:53 pm

Oui aux deux questions désolé pour les coquilles.
Et oui, aucune hypothèse n'est faite sur f.


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TheWorld
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par TheWorld » ven. mars 08, 2019 7:32 pm

@Zrun c'est l'idée
Le point le plus technique à rediger reste de montrer l'equirepartition de la suite modulo 1
Je crois qu'il s'agit d'un oral de l'ens lyon et le chiffre 7 a été choisi lors de cet oral (sans doute pour ne pas que l'eleve teste les puissances de 2 une par une comme @Dattier l'a très bien fait) mais l'exercice se generalise effectivement très bien
"C'est pas la prepa qui fait l'élève" dirent-ils sans vergogne

Luckyos
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Luckyos » ven. mars 08, 2019 7:37 pm

burgerking a écrit :
ven. mars 08, 2019 5:52 pm
On se place dans R^2 et on appelle longueur d’un arc g C1, si elle existe, l’intégrale de la norme de g' sur [0,1]. On appelle longueur d'un arc C0 si elle existe, le sup des longueurs des lignes brisées coincidant en n points (n variable) avec l'arc. On la note L(g). On admet que les deux définitions coincident sur les arcs C1.
Exo que j'ai eu à l'oral de maths Cachan/Rennes : le montrer.
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GaBuZoMeu
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » ven. mars 08, 2019 7:58 pm

@Burgerking :
Je note $ \lfloor r\rfloor $ et $ \{r\} $ la partie entière et la partie fractionnaire d'un réel $ r $.
Je définis l'application $ f $ par
1°) Si $ g $ est un segment, $ f(g) $ est la variable aléatoire qui vaut $ \lfloor L(g)\rfloor $ avec proba $ 1-\{L(g)\} $ et $ \lfloor L(g)\rfloor +1 $ avec proba $ \{L(g)\} $.
2°) Sinon, $ f(g) $ est la variable aléatoire qui vaut 1 avec probabilité 1.

Qu'en penses-tu ?

Zrun
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Zrun » ven. mars 08, 2019 9:57 pm

TheWorld a écrit :
ven. mars 08, 2019 7:32 pm
@Zrun c'est l'idée
Le point le plus technique à rediger reste de montrer l'equirepartition de la suite modulo 1
Je crois qu'il s'agit d'un oral de l'ens lyon et le chiffre 7 a été choisi lors de cet oral (sans doute pour ne pas que l'eleve teste les puissances de 2 une par une comme @Dattier l'a très bien fait) mais l'exercice se generalise effectivement très bien

Oui effectivement c’est le plus technique . L’idée est de se fixer deux réels $ 0\leq a<b\leq1 $ puis de considérer $ G=Z+\theta Z $. C’est un sous-groupe de R qui n’est pas discret donc il est dense . L’idée est en fait de considérer un element de $ G $ dans $ [a+\epsilon, b-\epsilon] $ pour un $ \epsilon $ inférieur à $ \frac{b-a}{3} $ afin de pouvoir rajouter des petits éléments de G afin de se ramener à un élément de $ N+\theta Z $.
En effet, il existe $ x=p+\theta q \in [a+ \epsilon , b-\epsilon] $. Par densité de G dans $ [0,\epsilon] $, il existe une infinité d’éléments de G dans $ [0,\epsilon] $ donc a fortiori , il existe $ y=n+ \theta m $ dans $ [0,\epsilon] $ avec $ abs(n)>abs(p) $. Alors $ x-y $ ou $ x+y $ convient .
Modifié en dernier par Zrun le sam. mars 09, 2019 8:52 am, modifié 2 fois.
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Siméon
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » ven. mars 08, 2019 11:51 pm

À propos de l'oral d'Ulm posé par l'X en Y.
dSP a écrit :
lun. mars 04, 2019 7:38 pm
Une idée qui fonctionne (je ne donne pas tous les détails, seulement quelques grandes lignes). [...]
En utilisant convenablement le lemme de Borel-Cantelli, on peut alors conclure (je reste volontairement succint)...
Je serais curieux de voir ce que tu as en tête, j'ai l'impression qu'il manque plus que quelques détails dans cette direction. Si j'ai le temps j'essayerai de poster une solution plus complète (et peut-être un peu plus simple).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » sam. mars 09, 2019 12:27 am

Siméon a écrit :
ven. mars 08, 2019 11:51 pm
À propos de l'oral d'Ulm posé par l'X en Y.
dSP a écrit :
lun. mars 04, 2019 7:38 pm
Une idée qui fonctionne (je ne donne pas tous les détails, seulement quelques grandes lignes). [...]
En utilisant convenablement le lemme de Borel-Cantelli, on peut alors conclure (je reste volontairement succint)...
Je serais curieux de voir ce que tu as en tête, j'ai l'impression qu'il manque plus que quelques détails dans cette direction. Si j'ai le temps j'essayerai de poster une solution plus complète (et peut-être un peu plus simple).
À titre personel, je pense que l'idée de dSP fonctionne. Si j'ai bien compris l'idée de dSP, il faut choisir des $ n_k, m_k, p_k, x_k $ et on prend $ n_{k+1}=p_k+1 $. C'est fait pour assurer l'indépendance entre les variables aléatoires $ Z_k $ avec
$$
Z_k=\sum_{j=n_k+1}^{p_k}x^k\epsilon_k.
$$
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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dSP
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par dSP » sam. mars 09, 2019 1:10 pm

matmeca_mcf1 a écrit :
sam. mars 09, 2019 12:27 am
À titre personel, je pense que l'idée de dSP fonctionne. Si j'ai bien compris l'idée de dSP, il faut choisir des $ n_k, m_k, p_k, x_k $ et on prend $ n_{k+1}=p_k+1 $. C'est fait pour assurer l'indépendance entre les variables aléatoires $ Z_k $ avec
$$
Z_k=\sum_{j=n_k+1}^{p_k}x^k\epsilon_k.
$$
Oui, c'est tout à fait cela, il faut aussi choisir une suite $ (x_k) $ qui converge vers 1. On montre que, presque sûrement, la fonction $ f $ prend une valeur strictement positive en $ x_k $ pour une infinité d'indices $ k $. Symétriquement, presque sûrement elle prend une valeur strictement négative en $ x_k $ pour une infinité d'indices $ k $. On conclut facilement à partir de là.
Professeur de Mathématiques en MP*
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Siméon
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » sam. mars 09, 2019 3:52 pm

D'accord, j'avais lu un peu vite ! Mon idée était en fait assez proche. Pour tout $x_0 \in \left]0;1\right[$, on construit par récurrence une suite $(x_k)_{k\in \mathbb N}$ strictement croissante telle que les événements $A_k = \{f(x_0),\dots,f(x_k) \text{ sont non nuls et de même signe}\}$ vérifient $P(A_{k+1}) \leqslant \frac67 P(A_k)$ pour tout $k$. On obtient alors directement que l'intersection des $(A_k)$ est de probabilité nulle par continuité décroissante, ce qui montre que $f$ admet presque-sûrement au moins un zéro sur $\left[x_0;1\right[$. Puis on conclut par intersection dénombrable d'événements presque-sûrs (en faisant varier $x_0$).

Pour ajouter quelques détails, voici un argument élémentaire qui justifie une des étapes-clés : soit $N \in \mathbb N$ fixé, et $R = \sum_{n\geqslant N} \varepsilon_n\,x^n$. On vérifie facilement que $E[R^2] \to +\infty$ et $E[R^4] \sim 3\, E[R^2]^2$ lorsque $x \to 1$. Pour tout réel $A$ positif, l'inégalité de Paley-Zygmund appliquée à $R^2$ permet alors d'en déduire l'existence de $x \in \left]0;1\right[$ tel que $P(|R| > A) \geqslant \frac27$, d'où $P(R > A) \geqslant \frac17$ et $P(R < -A) \geqslant \frac17$ par symétrie.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » sam. mars 09, 2019 8:03 pm

Professeur @Siméon j’espérais voir votre intervention sur ce problème, merci infiniment c'est toujours un grand plaisir de vous lire.

Quelle magnifique utilisation de l'inégalité de Paley-Zygmund, splendide bravo! je ma rappelle l'avoir fait dans un TD, je me disais que cela ne serait pas évident de l'invoquer pour résoudre un problème...
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. mars 26, 2019 7:05 pm

l'XenY a écrit :
jeu. févr. 28, 2019 10:16 pm
Soit $ (\epsilon_{k}) $ une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes de Rademacher. Montrer que la fonction qui à x associe :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $

Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]
Voici un article qui pourrait-être intéressant sur cette thématique : http://www.ams.org/journals/bull/1995-3 ... /home.html
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Mathoss
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mathoss » mar. mars 26, 2019 7:27 pm

Je partage une question à laquelle j'ai réfléchi pendant ma dernière colle, j'ai pas esquissé beaucoup de choses encore.
On considère l'exponentielle de matrice de M_n(C) dans M_n(C), que peut-on dire des points en lesquels elle n'est pas localement injective?
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
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2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques

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