Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1161
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » lun. avr. 01, 2019 2:35 pm

Bonjour,

$ $Le sup d'un sous ensemble $E$ des fonctions 1-lipschtiz de $C([0,1])$, simplement borné, est-il encore 1-lipschitz ?


Bonne journée.

Avatar du membre
oty20
Messages : 744
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mar. avr. 02, 2019 4:52 am

SPOILER:
oui, pour $ x\in [0,1] $ soit $ s(x)=\sup_{f \in E } f(x) $, on se donne $ u,v \in [0,1] $ supposant sans perdre de généralité $ s(u) \geq s(v) $, pour tout $ r>0 $ on dispose de $ f_{r} $ tel que $ s(u)\leq f_{r}(u)+r $ avec $ f_{r} \in E $, ainsi comme $ f_{r}(v) \leq s(v) $ on a les inégalités :

$ |s(u)-s(v)| \leq s(u)-s(v) \leq f_{r}(u)+r-s(v) \leq f_{r}(u)-f_{r}(v) +r \leq |f_{r}(u)-f_{r}(v)|+r \leq |u-v|+r $ reste a faire tendre $ r\to 0 $ pour conclure.

je poste cet exo ici aussi car ce fut un oral posé en 2009 :

Montrer qu'il existe $ a_{n}>0 $ tel que :

$ \forall (k_{1},...,k_{n}) \in \mathbb{N}^{*} : \frac{1}{k_{1}}+...+\frac{1}{k_{n}} < 1 \implies \frac{1}{k_1}+...+\frac{1}{k_n}< 1-a_{n} $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1161
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » jeu. avr. 04, 2019 2:58 pm

@Oty : Bravo.



Existe-t-il $x \in \mathbb R$ tel que $\{\cos(nx)\}_{n \in \mathbb N}$ soit $\mathbb Q$-libre ?

Avatar du membre
oty20
Messages : 744
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » ven. avr. 05, 2019 6:51 pm

oty20 a écrit :
mar. mars 05, 2019 9:37 pm

Voici un exo d'ens lyon :

Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ bornée,

$ \exists A > 0 ,~~ \forall (x,t) \in \mathbb{R}^{2}:~~ |f(x+t)+f(x-t)-2f(x)| \leq A |t|. $

Montrer que :

$ \exists C > 0, \forall \delta \in ]0,\frac{1}{2}], \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} $ tel que si $ |x-y| \leq \delta $ Alors :

$ |f(x)-f(y)| \leq C \delta \ln(\frac{1}{\delta}) $

je ne sais pas si ce problème à intéresser quelqu'un,je poste tout de même une proposition de solution,comme cela si jamais quelqu'un utilise ce topic pour préparer, il puisse y trouver aussi des éléments de réponses si besoin.
SPOILER:
Nous avons une estimation de la différence finie d'ordre deux $\Delta^2_h f(x):= f(x)-2f(x+h)+f(x+2h)$ et nous aimerions une estimation sur la différence finie d'ordre 1 $\Delta_h f(x)=f(x+h)-f(x)$. Nous avons :
$$\Delta_{x+h}f(x+h)=\Delta_h f(x)+\Delta^2_h f(x)$$
Par suite :
\begin{align*}
\Delta_{2h}f(x)&= \Delta_hf(x)+\Delta_h f(x+h)\\
&=\Delta_hf(x)+\Delta_h f(x)+\Delta^2_h f(x)\\
&= 2\Delta_h f(x)+\Delta^2_h f(x).
\end{align*}
On réitère $n$ fois, on tire:
$$\Delta_{2^nh}f(x)=2^n\Delta_h f(x)+2^{n-1}\Delta^2_h f(x)+2^{n-2}\Delta^2_{2^1h}+\dots +2\Delta^2_{2^{n-2}h}f(x)+\Delta^2_{2^{n-1}h}f(x).$$
Ainsi:
$$\Delta_h f(x)=2^{-n}\Delta_{2^nh}f(x)-2^{-1}\Delta^2_h f(x)-2^{-2}\Delta^2_{2^1h}-\dots - 2^{-n}\Delta^2_{2^{n-1}h}f(x). $$
Le plus gros du travail est fait. On fixe $h$, et $n\approx\log_2\frac{1}{h}$, on utilise le fait que $f$ est bornée ($|\Delta_{2^nh}f(x)|<C$), et finalement on applique l'estimation donnée par l'énoncé sur $\Delta^2_{(\dots)}f(x)$, cela permet de conclure.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Avatar du membre
oty20
Messages : 744
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. avr. 08, 2019 2:19 am

Sympatoche:

Soient un entier $ N\geq 2 $,et $ f:[[1,N]] \to \mathbb{R} $ de classe $ C^{2} $. On suppose $ \max |f'| < 1 $ et $ \min f'' > 0 $. Montrer que le nombre de points à coordonnées entières du graphe de $ f $ est au plus $ 1+2N^{\frac{2}{3}} $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

V@J
Messages : 2850
Enregistré le : jeu. janv. 22, 2009 6:15 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » lun. avr. 08, 2019 7:05 pm

Dattier a écrit :
jeu. avr. 04, 2019 2:58 pm
Existe-t-il $x \in \mathbb R$ tel que $\{\cos(nx)\}_{n \in \mathbb N}$ soit $\mathbb Q$-libre ?
Celui-là est mignon !

Avatar du membre
oty20
Messages : 744
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » ven. avr. 12, 2019 8:58 pm

cela ne revient pas à choisir $x$ tel que $\cos(x)$ est transcendant ?

puisque $\cos(nx)$ est un polynôme à coeffs rationnels en $\cos(x)$ .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1161
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. avr. 12, 2019 9:25 pm

Oui, bravo.

Il est juste à préciser que $\text{deg}(P_n(x))=n$ avec $P_n(\cos(x))=\cos(nx)$.

PS : en fait le résultat marche dans un cas plus général, en prenant $f_n$ DSE $\mathbb R$_libre en tant que fonction.

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1161
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » ven. avr. 12, 2019 10:35 pm

A noter que ce n'est pas vrai dans le cas juste continue ou même $C^\infty$

Mathoss
Messages : 141
Enregistré le : ven. juin 16, 2017 7:44 pm
Classe : MPSI

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mathoss » lun. avr. 22, 2019 6:26 pm

J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).
Image
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques

matmeca_mcf1
Messages : 1407
Enregistré le : mar. févr. 13, 2018 10:22 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » jeu. avr. 25, 2019 7:18 pm

Mathoss a écrit :
lun. avr. 22, 2019 6:26 pm
J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).
Image
Ce n'est pas évident. J'ai réfléchi un peu et je n'ai pas la solution. Je dirais qu'il faut essayer de multiplier $ P $ et $ \tilde{P} $, puis faire le lien avec les polynômes symétriques. Comme $ \cos(kt) $ peut s'écrire comme une combinaison linéaire des $ \cos^j(t) $, cela donne bien un polynôme de degré $ 2n $ en $ \cos(t) $ mais malheureusement ce polynôme n'est pas forcément symétrique.

Si on avait $ \cos^k(t) $ au lieu de $ \cos(kt) $ dans l'énoncé, cela donnerait des polynômes symétriques en $ \cos(t) $ et on pourrait conclure puisque pour un polynôme symétrique $ x $ est racine si et seulement si $ 1/x $ est racine donc la moitié des racines ne peut être solution de $ \cos(t)=x_i $ (il faudrait traiter le cas particulier des racines 1 et -1 autrement en observant que $ \cos(t)=\pm1 $ n'a qu'une solution dans $ [0,2\pi[ $).

Il y a peut-être une transformation, ou un changement de variable qui permette de se ramener à un polynôme symétrique de degré 2n en autre chose que $ \cos(t) $ ou un concept plus général que celui des polynômes symétriques.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

kakille
Messages : 536
Enregistré le : sam. mars 26, 2016 3:43 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par kakille » sam. avr. 27, 2019 3:53 pm

Bonjour,

soit $a$ un réel dans $]0,\pi[$. On admet qu'il existe une unique fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f''+\sin f=0, f(0)=a$ et $f'(0)=0$. Montrer que $f$ est périodique.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

donnerwetter
Messages : 220
Enregistré le : sam. mars 12, 2016 6:59 pm
Classe : MP*

Re: Exos sympas MP(*)

Message par donnerwetter » sam. avr. 27, 2019 5:57 pm

Il suffit de montrer qu'il existe x>0 tel que f(x)=-a et f'(x)=0 car alors g(t):=-f(t+x) vérifie l'ed et les ci donc g=f donc f(t+2x)=f(t+x+x)=-f(t+x)=f(t) donc f périodique.
Aussi on remarque que f''+sinf=0 => f'f"+f'sinf=0 => 1/2(f'^2)'=(cosf)' => f'^2=2(cosf-cos(a)) en utilisant les conditions en 0. Donc cosf>=cos(a) donc |f|<=a par tvi. Du coup il suffit de trouver x tq f(x)=-a car nécessairement on aura f'(x)=0.
Maintenant il existe un voisinage de 0 dans R+ sur lequel f est positive, donc en intégrant l'ED il vient f'(t)=- $ \int_0^t sin(f) $ <0 sur ce voisinage. Soit x maximal tel que f soit décroissante sur [0,x]. Montrons que x est fini : dans le cas contraire f étant bornée et décroissante elle tend vers un certain l en l'infini, et on montre que f' et f'' tendent vers 0 (la limite existe et si elle est non nulle il suffit d'intégrer les relations d'équivalence pour avoir des contradictions). l est non nul car sinon f>0 sur R+ et donc f'(t)<$ - \int_0^1 sin(f(u))du $ ne tend pas vers 0. Mais alors par continuité en utilisant l'ED f''(t) tend vers sin(l) non nul, contradiction. Donc f'(x)=0 i.e. en utilisant la relation sur f'^2 trouvée au début, cos(f(x))=cos(a) donc f(x)=-a.

kakille
Messages : 536
Enregistré le : sam. mars 26, 2016 3:43 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par kakille » dim. avr. 28, 2019 1:41 pm

Bonjour donnerwetter,

merci pour cette réponse. C'est un peu trop elliptique à mon goût (la définition de $x$, qui est l'objet crucial dans ton raisonnement, pourrait-elle être précisée ?).
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

kakille
Messages : 536
Enregistré le : sam. mars 26, 2016 3:43 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par kakille » dim. avr. 28, 2019 3:03 pm

Bonjour,

on considère $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées définies sur un espaces probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ telle que $P(X_n=1)=P(X_n=-1)=1/2$ pour tout entier strictement positif $n$. On définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ pour tout entier strictement positif $n$. Soit $x$ un entier positif. Montrer que lorsque $n$ tend vers l'infini on a l'équivalent
$$
P(x+S_1\geq 0\cap \ldots \cap x+S_n\geq 0)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+1)\frac{1}{\sqrt{n}}.
$$
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : V@J et 5 invités