Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » dim. juin 30, 2019 4:48 pm

Bonjour, j'ai trouvé
SPOILER:
$2^{2018}+1$
je posterai mon approche dans deux jours
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oty20
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » lun. juil. 01, 2019 2:01 am

Bonjour,
SPOILER:
il me semble que $x_{1}=P(s)$ est de degré $2=2^{1}$ en $s$ , $x_{2}$ est de degré $4=2^{2}$ plus généralement $x_{n}$ est de degré $2^{n}$ soit $x_{2019}$ est de degré $2^{2019}$ donc pas de contradiction, sauf erreur...
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Michk'
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Michk' » lun. juil. 01, 2019 12:41 pm

Bonjour à tous.
SPOILER:
Soit $(x_{n})$ une suite de réels vérifiant les deux conditions énoncées.

Soit k entre 0 et 2019.

Si $x_{k}\leq 1, x_{k-1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - x_{k}}}{2}$

$$x_{2019} = 0
\Leftrightarrow x_{2018} = 0 \ ou \ x_{2018} = 1
\Leftrightarrow x_{2018} = 0 \ ou \ x_{2017} = 1/2
\Leftrightarrow x_{1} = 1 \ ou \ x_{1} = 0 \ ou \ x_{1} = 1/2 \ ou \ ... \ ou \ x_{2017} = 1/2$$

On pose $p_{k-1}\in {0,1}$ tel que $x_{k-1}= \frac{1 + (-1)^{p_{k-1}} \sqrt{1 - x_{k}}}{2}$

On remarque que $x_{k}\in ]0,1[ \Rightarrow x_{k-1} \in]0,1[$

Pour $x_{k}$ fixé dans $]0,1[$, il y a deux valeurs distinctes possibles pour $x_{k-1}$, donc au plus $2^{k-1}$ valeurs possibles pour $x_{1}$, correspondant au choix des $p_{k-1},...,p_{1}$ dans ${0,1} $

En supposant que l'on obtienne une même valeur de $x_{1}$ avec deux listes $p_{k-1},...,p_{1}$ et $q_{k-1},...,q_{1}$, on montre par récurrence immédiate sur i que $\forall i \in[1,k], p_{i} = q_{i}$

Il y a donc exactement $2^{k-1}$ valeurs de $x_{1}$ envisageables pour $x_{k-1}$ fixé dans ]0,1[

Ensuite, pour k,p distincts, et par exemple k<p, si $ x_{k} = 1/2, $ alors $ x_{k+1} = 1 $ et $ x _{k+2} = x_{k+3} = ...= 0 $ Donc $ x_{p} \neq 1/2 $

Pour ma part, je trouve donc $2^{2016}+...+2^1+1 + 2 = 2^{2017}+1$ valeurs de $s=x_{1}$ telles que $ x_{2019} = 0$
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JeanN
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » lun. juil. 01, 2019 12:59 pm

Dattier a écrit :
sam. juin 29, 2019 2:30 pm
oty20 a écrit :
mer. juin 26, 2019 1:45 am
Un Exo Sympa:

Soit $(x_{n})$ une suite de nombre réels défini par:

$$x_{1}=s,~~x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n})$$

Pour combien de valeurs de $s$ :

$$x_{2019}=0$$
SPOILER:
$P(x)=4x(1-x)$ et $P(x)=Q^{-1}(R(Q(x)))$ avec $Q$ fonction affine réel et $R(x)=x^2-2$
Donc $x_{2019}=P^{2018}(s)=Q^{-1}\circ R^{2018} \circ Q (s)$ et $R^{2018}(s)=c^{2^{2018}}+\dfrac{1}{c^{2^{2018}}}$ avec $Q(s)=c+1/c$
pour que $s$ soit réel il faut $c \in \mathbb R^{*}$ ou $c \in C(0,1) \subset \mathbb C$ le cercle unité dans les complexes.

Si $ |Q(0)|<2 $ alors on a $2^{2017}$ possibilité pour $s$ sinon $ 2 $ seulement.

Pourquoi pourrait-il y avoir deux résultats différents ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mer. juil. 03, 2019 2:20 pm

Ma proposition :
SPOILER:
On pose $f(x)=4x(1-x)$, on a $f^{-1}(0)=\{0,1\}$ , $f^{-1}(1)=\{\frac{1}{2}\},~~f^{-1}([0,1])=[0,1]$
et $|\{y: f(y)=x\}|=2 ~~\forall x \in [0,1[\}|$.

On considère l'ensemble $A_{n}=\{x \in \mathbb{R}: f^{n}(x)=0\}$ alors
$A_{n+1}=\{x \in \mathbb{R}: f^{n+1}(x)=0\}=\{x \in \mathbb{R}: f^{n}(f(x))=0\}=\{x \in \mathbb{R}: f(x) \in A_{n}\} $.

Pour $n=1$ nous avons vu au début que $A_{1}=\{0,1\}$ , $A_{1} \subset [0,1]$ et $1 \in A_{1}$, nous allons montrer par récurrence sur $n$ que.

$$P(n) :''A_{n} \subset [0,1],~~ 1\in A_{n},~~~~|A_{n}|=2^{n-1}+1 '' $$

Soit $n\geq 1$ , on suppose $P(n)$ vraie, soit $x\in A_{n+1}$ alors $f(x) \in A_{n} \subset [0,1]$ par suite $x\in [0,1]$,

ce qui permet d'avoir $A_{n+1} \subset [0,1]$.

Maintenant comme $f(0)=f(1)=0$ il vient que $f^{n+1}(1)=0$ ce qui permet d'avoir $1 \in A_{n+1}$.

Enfin :

$$|A_{n+1}|=|\{x \in \mathbb{R}: f(x) \in A_{n}\}|=\sum_{a \in A_{n}} |\{x : f(x)=a\}|$$
$$=|\{x : f(x)=1\}|+\sum_{a \in A_{n},~~a \in [0,1[} |\{x : f(x)=a\}|$$
$$=1+2(|A_{n}|-1)=2^{n}+1$$

Ce qui achève la récurrence.

Finalement $x_{2019}=0$ SSI $f^{2019}(s)=0$ soit $2^{2019-1} +1=2^{2018} +1$ valeurs de $s$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Michk' » jeu. juil. 04, 2019 1:09 pm

$x_{2019} = 0 $ SSI $ f^{2018}(s) = 0 $ *

Ceci rectifié tu trouves $2^{2017}+1$ et nos résultats sont identiques.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » jeu. juil. 04, 2019 1:59 pm

Ah oui merci, je devais penser que la suite commençait à partir de
$$ x_{0} $$.

Bravo :) !
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » sam. août 03, 2019 9:29 pm

A cute one:

Toto dessine un cercle dans le plan (Oxy), le rayon du cercle est un entier compris entre 0 et 2008. L'origine O est à l’intérieur du cercle, et nous sommes autorisés à poser la question '' le point $(x,y)$ se trouve-t-il à l’intérieure du cercle ? '', à laquelle Toto répondra par oui ou par non.

Montrer qu'il est possible d'obtenir le rayon du cercle en au plus $60$ questions.

(On considèrera que les points qui appartiennent au cercle sont à l’intérieur de ce dernier )
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » mer. août 14, 2019 3:13 pm

oui c'est la bonne idée, la difficulté serait au niveau de la rédaction...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par AhmedNasredinne » lun. oct. 07, 2019 7:05 pm

Que vaut $ \mathbb{Gl_{n}(K)+Gl_{n}(K)^{c}} $
Pas d’aide par MP

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » lun. oct. 07, 2019 9:58 pm

Mn(C) ?
Ou alors je n’ai pas compris l’exo.
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AhmedNasredinne
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par AhmedNasredinne » lun. oct. 07, 2019 10:27 pm

On a plutôt toutes matrices de $ \mathbb{M_{n}(K)} $ est sommes de deux inversibles, cependant dans mon exercice l’une n’est pas inversible, on obtient facilement les matrices inversibles, mais celles non inversibles je ne vois pas comment vous le obtenez trivialement? (Il y a un $ ^{c} $ dans ma somme pour complémentaire)
(Et comment obtenir la matrice nulle ? Avec votre résultat)
Pas d’aide par MP

JeanN
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » mar. oct. 08, 2019 12:57 am

Ok, j’avais pas compris l’exo :)
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » mar. oct. 08, 2019 8:58 pm

Pour toute matrice $M \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ de rang $r \geq 1$, on dispose de $P,Q$ inversibles telles que $M = PJ_rQ$, où $J_r$ est une matrice diagonale avec $r$ coefficients diagonaux égaux à $1$ et tous les autres nuls. La décomposition $M = PQ + P(J_r - I_n)Q$ convient alors car $J_r - I_n$ est de rang $n-r$. Et pour la matrice nulle il n'y a trivialement aucune décomposition qui convienne.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par AhmedNasredinne » mer. oct. 09, 2019 12:42 pm

Bonjour,
JeanN a écrit :
mar. oct. 08, 2019 12:57 am
Ok, j’avais pas compris l’exo :)
Pas de soucis, l’enoncé n’etait pas clair :wink:

Bravo Siméon.
Pas d’aide par MP

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