J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur).

Soit $ \displaystyle p_n $ le nombre de chiffres dans l'écriture de l'entier $ \displaystyle n $ en base $ \displaystyle 10 $.
Nature et somme éventuelle de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge1}\frac{p_n}{n(n+1)} $
En plus c'est des classiques.Nature de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $
On note $ \displaystyle p(n) $ le plus grand diviseur premier de $ n $.
Montrer que la série $ \displaystyle\sum_{n\ge 1} \frac{1}{np(n)} $ converge.
On considère la suite $ \displaystyle (\lambda_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ croissante des racines réelles positives de l'équation $ \displaystyle \tan(x)=x $.
Montrer que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=\frac{1}{10} $
V@J pour ton exemple ,la non équivalence des normes à partir de :V@J a écrit :Question 2 :
On suppose que $ a_n \notin \{b_k \ | \ k \in \mathbb{N} \} $. Soit $ m \in \mathbb{N} $, puis $ \Omega \subseteq [0,1] $ un intervalle ouvert tel que $ a_n \in \Omega $ mais, $ \forall \ k \leq n+m, \ b_k \notin \Omega $. Soit $ \varphi \in C^0([0,1],\mathbb{R}) $ à support dans $ \Omega $ telle que $ 0 \leq \varphi \leq 1 $ et $ \varphi(a_n) = 1 $.
Alors on a $ (\varphi|\varphi) \geq 2^{-n} $ avec la première suite, et $ (\varphi|\varphi) \leq 2^{-(n+m)} $ avec la deuxième : les normes associées ne sont pas équivalentes.
Question 3 :
L'espace en question ne semble vraiment pas complet !