J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur).
Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
V@J: Bravo, c'est vraisemblablement correct à la bonne écriture près $ \sqrt{\frac{ln(n)}{n}} $.
J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur).
J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur).
Re: Exos sympas MP(*)
Ah Maple le fourbe 
( juste pour préciser, mais ce n'est qu'une coquille dans le post de V@J : on a $ \displaystyle d_n\sim\sqrt{\frac{\ell n(n)}{n}} $ (le n est sous la racine aussi) )
Merci à vous deux d'avoir cherché
( juste pour préciser, mais ce n'est qu'une coquille dans le post de V@J : on a $ \displaystyle d_n\sim\sqrt{\frac{\ell n(n)}{n}} $ (le n est sous la racine aussi) )
Merci à vous deux d'avoir cherché
Re: Exos sympas MP(*)
Autre exo beaucoup plus facile que le premier que j'ai posté :
Montrer que les sous-anneaux unitaires de $ \mathbb{Q} $ sont de la forme $ \mathbb{Z}[F] $ avec $ F \subseteq \{\frac{1}{p} | \ p \ premier\} $.
Montrer que les sous-anneaux unitaires de $ \mathbb{Q} $ sont de la forme $ \mathbb{Z}[F] $ avec $ F \subseteq \{\frac{1}{p} | \ p \ premier\} $.
Re: Exos sympas MP(*)
Ah, j'avais pas pensé utiliser le fait les sous anneaux de $ \mathbb{Q} $ sont les $ \mathbb{Z}[F] $ pour résoudre ton premier exo. Merci pour l'indication.
Re: Exos sympas MP(*)
colis > trop tard j'ai vu ce que tu attends comme petit cadeau ^^ Deux exos sur les séries, le premier assez simple, le deuxième un brin plus ardu, mais vous allez les torcher!
Sinon, des exos de MP que je ne saurais pas résoudre
(mais je dispose des solutions ..)
Soit $ \displaystyle p_n $ le nombre de chiffres dans l'écriture de l'entier $ \displaystyle n $ en base $ \displaystyle 10 $.
Nature et somme éventuelle de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge1}\frac{p_n}{n(n+1)} $
En plus c'est des classiques.Nature de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $
Sinon, des exos de MP que je ne saurais pas résoudre
(mais je dispose des solutions ..)On note $ \displaystyle p(n) $ le plus grand diviseur premier de $ n $.
Montrer que la série $ \displaystyle\sum_{n\ge 1} \frac{1}{np(n)} $ converge.
On considère la suite $ \displaystyle (\lambda_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ croissante des racines réelles positives de l'équation $ \displaystyle \tan(x)=x $.
Montrer que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=\frac{1}{10} $
Re: Exos sympas MP(*)
Un exo choupi :
- Soit $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ une suite à valeurs dans $ [0,1] $. A quelle condition (NS) $ (.|.) $ défini par $ (f|g) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(a_{n})g(a_{n})}{2^{n}} $ est-il un produit scalaire sur $ E = C^{0}([0,1],\mathbb{R}) $?
- Soient $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ et $ (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ deux suites qui vérifient cette condition, montrer que les normes associées sont équivalentes => $ \{a_{n}, n\in \mathbb{N} \} = \{b_{n}, n \in \mathbb{N} \} $
- $ (E,\sqrt{(.|.)}) $ est-il complet?
- Soit $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ une suite à valeurs dans $ [0,1] $. A quelle condition (NS) $ (.|.) $ défini par $ (f|g) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(a_{n})g(a_{n})}{2^{n}} $ est-il un produit scalaire sur $ E = C^{0}([0,1],\mathbb{R}) $?
- Soient $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ et $ (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ deux suites qui vérifient cette condition, montrer que les normes associées sont équivalentes => $ \{a_{n}, n\in \mathbb{N} \} = \{b_{n}, n \in \mathbb{N} \} $
- $ (E,\sqrt{(.|.)}) $ est-il complet?
Doctorant Maths-Info, ancien ENS Cachan.
Re: Exos sympas MP(*)
Le premier : il faut et il suffit que la suite (a_n) soit dense dans [0,1], me trompé-je ? 
Re: Exos sympas MP(*)
Question 2 :
On suppose que $ a_n \notin \{b_k \ | \ k \in \mathbb{N} \} $. Soit $ m \in \mathbb{N} $, puis $ \Omega \subseteq [0,1] $ un intervalle ouvert tel que $ a_n \in \Omega $ mais, $ \forall \ k \leq n+m, \ b_k \notin \Omega $. Soit $ \varphi \in C^0([0,1],\mathbb{R}) $ à support dans $ \Omega $ telle que $ 0 \leq \varphi \leq 1 $ et $ \varphi(a_n) = 1 $.
Alors on a $ (\varphi|\varphi) \geq 2^{-n} $ avec la première suite, et $ (\varphi|\varphi) \leq 2^{-(n+m)} $ avec la deuxième : les normes associées ne sont pas équivalentes.
Question 3 :
L'espace en question ne semble vraiment pas complet !
On suppose que $ a_n \notin \{b_k \ | \ k \in \mathbb{N} \} $. Soit $ m \in \mathbb{N} $, puis $ \Omega \subseteq [0,1] $ un intervalle ouvert tel que $ a_n \in \Omega $ mais, $ \forall \ k \leq n+m, \ b_k \notin \Omega $. Soit $ \varphi \in C^0([0,1],\mathbb{R}) $ à support dans $ \Omega $ telle que $ 0 \leq \varphi \leq 1 $ et $ \varphi(a_n) = 1 $.
Alors on a $ (\varphi|\varphi) \geq 2^{-n} $ avec la première suite, et $ (\varphi|\varphi) \leq 2^{-(n+m)} $ avec la deuxième : les normes associées ne sont pas équivalentes.
Question 3 :
L'espace en question ne semble vraiment pas complet !
Re: Exos sympas MP(*)
V@J pour ton exemple ,la non équivalence des normes à partir de :V@J a écrit :Question 2 :
On suppose que $ a_n \notin \{b_k \ | \ k \in \mathbb{N} \} $. Soit $ m \in \mathbb{N} $, puis $ \Omega \subseteq [0,1] $ un intervalle ouvert tel que $ a_n \in \Omega $ mais, $ \forall \ k \leq n+m, \ b_k \notin \Omega $. Soit $ \varphi \in C^0([0,1],\mathbb{R}) $ à support dans $ \Omega $ telle que $ 0 \leq \varphi \leq 1 $ et $ \varphi(a_n) = 1 $.
Alors on a $ (\varphi|\varphi) \geq 2^{-n} $ avec la première suite, et $ (\varphi|\varphi) \leq 2^{-(n+m)} $ avec la deuxième : les normes associées ne sont pas équivalentes.
Question 3 :
L'espace en question ne semble vraiment pas complet !
N1(PHI) =< 2^-(n+m)
2^(-n) =< N2(PHI)
n'est pas si évidente non ?