Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

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AGENT-DST
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Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 10:53 am

Bonjour tout le monde,


Cela fait 3 jours que je galère avec un sujet d'un DM et je n'arrive vraiment pas à le faire, c'est pour ça j'ai besoin de votre aide.

http://img193.imageshack.us/my.php?image=imag0111.jpg

J'ai réussi la première question mais j'ai besoin des pistes pour démarrer les autres. Donc si vous pourriez me donner des idées, je vous serais reconnaissant.


Merci d'avance.
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Latios
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Re: Espace vectirel euclidien : Famille obtusangle.

Message par Latios » lun. juin 01, 2009 11:13 am

Famille obtusangle ? C'est quoi ? :o
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Re: Espace vectirel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 11:25 am


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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par enjoygael » lun. juin 01, 2009 12:00 pm

C'est à partir de la 12 que tu bloques ? Si oui (pour la 12) regarde bien comment est la famille des \( (\overrightarrow{v_i})_i \) ...

EDIT:Pour la 13, regarde en dimension \( n=2 \) en prenant une famille obtusangle de \( n+2=4 \) vecteurs.. puis par recurrence, que se passe-t-il dans un espace de dimension \( n \) si on prend une famille obtusangle de \( n+2 \) vecteurs ? Conclusion.. ?

Et c'est un sujet de quel concours d'ailleurs ? Vieux je suppose vu la typographie mais bon.. :roll:
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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 12:07 pm

enjoygael a écrit :C'est à partir de la 12 que tu bloques ? Si oui (pour la 12) regarde bien comment est la famille des \( (\overrightarrow{v_i})_i \)


L'énoncé nous dit que cette famille est obtusangle mais je ne vois pas comment je peux exploiter ça dans l'égalité de la question (11) pour dire conclure que la famille des \( (\overrightarrow{u_i})_i \) est obtusangle :/

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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par enjoygael » lun. juin 01, 2009 12:09 pm

AGENT-DST a écrit :
enjoygael a écrit :C'est à partir de la 12 que tu bloques ? Si oui (pour la 12) regarde bien comment est la famille des \( (\overrightarrow{v_i})_i \)


L'énoncé nous dit que cette famille est obtusangle mais je ne vois pas comment je peux exploiter ça dans l'égalité de la question (11) pour dire conclure que la famille des \( (\overrightarrow{u_i})_i \) est obtusangle :/


Bah ca implique quoi sur le produit \( \overrightarrow{v_i} \cdot \overrightarrow{v_j} \) qu'elle soit obtusangle ? De plus tu as aussi prouvé que \( \forall i,\lambda_i <0 \) :wink:
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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 12:12 pm

enjoygael a écrit :
AGENT-DST a écrit :
enjoygael a écrit :C'est à partir de la 12 que tu bloques ? Si oui (pour la 12) regarde bien comment est la famille des \( (\overrightarrow{v_i})_i \)


L'énoncé nous dit que cette famille est obtusangle mais je ne vois pas comment je peux exploiter ça dans l'égalité de la question (11) pour dire conclure que la famille des \( (\overrightarrow{u_i})_i \) est obtusangle :/


Bah ca implique quoi sur le produit \( \overrightarrow{v_i} \cdot \overrightarrow{v_j} \) qu'elle soit obtusangle ? De plus tu as aussi prouvé que \( \forall i,\lambda_i <0 \) :wink:


Je dois avouer que j'étais un peu bête sur ce coup là ^^


Merci pour ton aide.


P.S : C'est un DM que notre porf nous a donné sans qu'il ne mentionne le d'où c'est tiré.
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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par enjoygael » lun. juin 01, 2009 12:18 pm

Ok :) J'aime bien ce sujet, c'est la première fois que je vois la notion d'angle obtu en algèbre je crois..

Pour la 21 : que donne \( (\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i\overrightarrow{e_i})\cdot\overrightarrow{e_j} \) ?
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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 12:29 pm

enjoygael a écrit :Ok :) J'aime bien ce sujet, c'est la première fois que je vois la notion d'angle obtu en algèbre je crois..

Pour la 21 : que donne \( (\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i\overrightarrow{e_i})\cdot\overrightarrow{e_j} \) ?



\( (\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i\overrightarrow{e_i})\cdot\overrightarrow{e_j} = 0 \) ^^ Donc Ks = 0 ?

Pour la 13, j'ai pas trop compris le raisonnement, en gros on doit faire une récurrence mais je ne vois pas comment on peut démontrer qu'une relation est fausse par récurrence.

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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par enjoygael » lun. juin 01, 2009 12:36 pm

AGENT-DST a écrit :\( (\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i\overrightarrow{e_i})\cdot\overrightarrow{e_j} = 0 \) ^^ Donc Ks = 0 ?

Attention au cas \( i=j \) dans la somme..!

Pour la 13, j'ai pas trop compris le raisonnement, en gros on doit faire une récurrence mais je ne vois pas comment on peut démontrer qu'une relation est fausse par récurrence.

Ouais je l'ai fait 'avec les mains'. Plus proprement ca donnerait quelque chose comme :
- Supposons (par l'absurde) \( p \geq n+2 \), ie on a une famille obtusangle de taille \( p \geq n+2 \) dans un espace de dimension \( n \)
- Avec la question 12, on a une famille obtusangle de taille \( p-1 \geq n+1 \) dans l'hyperplan \( H \) de dimension \( n-1 \)
- Par une récurrence descendante (à correctement écrire) on peut donc trouver une famille obtusangle de taille \( 4 \) en dimension \( 2 \). Est-ce possible ? (Fais un petit dessin en essayant d'en trouver une..). Conclusion ?
- On "remonte" la recurrence.. l'affirmation initiale était fausse.. d'où le résultat demandé :wink:
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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 12:51 pm

enjoygael a écrit :
AGENT-DST a écrit :\( (\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i\overrightarrow{e_i})\cdot\overrightarrow{e_j} = 0 \) ^^ Donc Ks = 0 ?

Attention au cas \( i=j \) dans la somme..!


J'ai refais le calcul et j'ai trouvé \( K(s-\alpha_{j})=\alpha_{j} \), C'est le résultat recherché ^^


Ouais je l'ai fait 'avec les mains'. Plus proprement ca donnerait quelque chose comme :
- Supposons (par l'absurde) \( p \geq n+2 \), ie on a une famille obtusangle de taille \( p \geq n+2 \) dans un espace de dimension \( n \)
- Avec la question 12, on a une famille obtusangle de taille \( p-1 \geq n+1 \) dans l'hyperplan \( H \) de dimension \( n-1 \)
- Par une récurrence descendante (à correctement écrire) on peut donc trouver une famille obtusangle de taille \( 4 \) en dimension \( 2 \). Est-ce possible ? (Fais un petit dessin en essayant d'en trouver une..). Conclusion ?
- On "remonte" la recurrence.. l'affirmation initiale était fausse.. d'où le résultat demandé :wink:


Je comprends mieux maintenant. Mercii

P.S : J'aimerais juste signaler que je suis en PTSI et que mon niveau en maths n'a rien de comparable avec les MPSI, alors supportez moi svp si je ne comprends pas trop vite ^^

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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 1:24 pm

Pour la 13), je ne sais pas ce que c'est une récurrence descendante, on en a jamais fait ^^

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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par enjoygael » lun. juin 01, 2009 1:48 pm

Ce que j'appelle "récurrence descendante" ca veut dire que supposant une propriété vraie au rang \( m \) on arrive à la prouver au rang \( m-1 \). Ainsi si on sait que la propriété est vraie au rang \( N \), alors on peut dire qu'elle et vraie à tous les rangs \( n\in[|0;N|] \).

Dans notre cas, en prenant pour vraie l'affirmation qu'on notera \( P(n) \) : "Il existe une famille obtusangle de \( n+2 \) vecteurs dans un espace de dimension \( n \)". La question 11 nous montre que si \( P(k) \) est vraie, \( P(k-1) \) aussi. Donc par le principe de la récurrence descendante expliqué ci-dessus, on arrive à \( P(2) \) vraie.

Or, tu arrives à prouver que \( P(2) \) est fausse, non ? Proprement je ne sais pas, mais avec un dessin ca suffira :mrgreen:

Il y a donc une incohérence.. or le seul moment où on a supposé quelque chose c'est au début en prenant pour vraie l'affirmation \( P(n) \), tout le reste est parfaitement logique.. c'est donc que \( P(n) \) est en fait fausse.

J'espère que c'est un peu plus clair..
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Re: Espace vectoriel euclidien : Famille obtusangle.

Message par AGENT-DST » lun. juin 01, 2009 4:04 pm

Oui oui, je comprend mieux maintenant, merci pour ton aide :)

Je cherche maintenant juste à comprendre pourquoi \( s \) ne peut pas être nul pour la question 23 ^^

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