Exercices d'arithmétique !

[esta-fette]

une autre piste pour cet exercice:

Bon bah puisque mon exo n'a pas l'air d'intéresser grand monde en voici un autre :

Montrer que pour tout entier naturel $ n > 1 $, il existe $ 3 $ entiers naturels non nuls $ \displaystyle u,v,w $ tels que $ \displaystyle \frac{5}{n} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} $.

une piste, mais je ne l'ai pas explorée:

u;v;w sont les solution de l'équation:

$ x^3-Sx^2+px-\frac {np}5 = 0 $......

où S=u+v+w
p=uv+uw+vw

donc le problème revient à trouver 2 entiers S et P tels que l'équation possède 3 solutions réelles, positives et entières....

il faut au moins que n multiple de 5 ou p multiple de 5.....

[Asymetric]

une autre piste pour cet exercice:

Bon bah puisque mon exo n'a pas l'air d'intéresser grand monde en voici un autre :

Montrer que pour tout entier naturel $ n > 1 $, il existe $ 3 $ entiers naturels non nuls $ \displaystyle u,v,w $ tels que $ \displaystyle \frac{5}{n} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} $.

une piste, mais je ne l'ai pas explorée:

u;v;w sont les solution de l'équation:

$ x^3-Sx^2+px-\frac {np}5 = 0 $......

où S=u+v+w
p=uv+uw+vw

donc le problème revient à trouver 2 entiers S et P tels que l'équation possède 3 solutions réelles, positives et entières....

il faut au moins que n multiple de 5 ou p multiple de 5.....

Bon, alors si tu veux continuer à chercher, fais donc, mais le problème que j'ai posé est en fait une conjecture non démontrée.
C'est la conjecture de Sierpinski ^^

[esta-fette]

En fait, chaque piste que j'ai explorée était prometteuse au départ et à l'arrivée il y a toujours un cas qui résiste....

c'est vrai pour les nombres pairs, les nombres divisibles par 5; par 3....
les nombres de la forme 4k-1; ceux de la forme 5k-1; 5k-2; ceux de la forme.........

[davfr]

C'est pareil pour : tout nombre naturel peut s'écrire sous la forme d'une somme de quatre carrés .. à première, ça à l'air vrai mais pour le démontrer... enfin même mon prof' de MPSI n'arrive pas à le démontrer x).

[Asymetric]

C'est un théorème, le théorème des 4 carrés de Lagrange.
J'avais lu que la démonstration utilisait l'identité des 4 carrés d'Euler et se faisait dans un quaternion...

[esta-fette]

C'est pareil pour : tout nombre naturel peut s'écrire sous la forme d'une somme de quatre carrés .. à première, ça à l'air vrai mais pour le démontrer... enfin même mon prof' de MPSI n'arrive pas à le démontrer x).

Il y a au moins 2 mèthodes pour démontrer cette propriétes.....
l'une d'elle fait appel aux quaternions d'Hurwitz

Il faut savoir que si c'est vrai pour les nombres premiers, alors c'est vrai pour tous les nombres....
on montre que si on a un nombre entier premier, alors il existe un quaternion à composantes demi-entière "tellement proche" que sa norme est le nombre premier....

la 2ème c'est quelque chose qui ressemble à démontrer que les nombres de la forme 3k-1 sont somme de 3 carrés (je ne me souviens plus très bien).....

Je me souviens d'avoir rédigé la première mèthode, il y a plus d'une dizaine de pages..... il y a longtemps, je l'ai peut-être encore dans mes archives....

[davfr]

oh ok... mais.. un quaternion, qu'est-ce ?

[esta-fette]

Un quaternion, c'est queque chose qui ressemble à un complexe ou encore un nombre, un vecteur, le produit vectoriel.......


Je m'explique:

on considère le corps non commutatif engendré par 1; i; j; k tel que
1 est élèment neutre....
i.j=k j.i=-k
k*i=j; j.i=-k
j.k=i; k.j=-i....

les quaternions sont des nombres de la forme a+bi+cj+dk......
c'est un espace vectoriel normé sur R de dimension 4.....
la norme est la racine carrée de (a²+b²+c²+d²)


Hurwitz a considéré un réseau (comme dans un cristal) composé de tous les quaternions à coordonnées multiples de 1/2....

et il s'est servi deu fait qe tout quaternion est à l'intérieur d'une maille du réseau et près d'un des sommets de la maille de moins de ....
donc il y avait un quaternion dont la norme éau carré était exactement m....
c'est ça l'idée générale....

[Asymetric]

oh ok... mais.. un quaternion, qu'est-ce ?

Comme tu viens de rentrer en MPSI, il suffit juste de dire que c'est une extension des complexes à 4 dimensions (dans l'espace), alors que les complexes sont à 2 dimensions (dans un plan).
On a construit de nouveaux ensembles comme ça : sédénion, octonion etc... (hypercomplexe).

[fakbill]

Heu oui mais après les quaternions on perd des propriétés tout de même bien pratiques