Exercices d'arithmétique !

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Asymetric

Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » 03 juil. 2009 17:01

Bonjour.

Je créé un topic pour qu'on propose différents exercices d'arithmétiques (à résoudre évidemment).

Je commence avec :

Exercice 1 :

Déterminer tous les entiers positifs $ n $ tels qu'on puisse subdiviser l'ensemble $ \{n, n +1, n + 2, n + 3, n + 4, n +5\} $ en 2 sous-ensembles disjoints de sorte que le produit des éléments de chacun de ces sous-ensembles soit le même.
Dernière modification par Asymetric le 11 juil. 2009 11:40, modifié 2 fois.

FeynmaN

Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par FeynmaN » 03 juil. 2009 17:44

Cet exercice est facilement faisable je trouve, on peut tout simplement procéder par disjonction de cas, c'est à dire, décomposer l'ensemble de ces nombres en deux groupes disjoints (tous ceux qui peuvent exister), et discuter l'égalité du produit de leurs élements après.

Asymetric

Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par Asymetric » 03 juil. 2009 17:51

FeynmaN a écrit :Cet exercice est facilement faisable je trouve, on peut tout simplement procéder par disjonction de cas, c'est à dire, décomposer l'ensemble de ces nombres en deux groupes disjoints (tous ceux qui peuvent exister), et discuter l'égalité du produit de leurs élements après.
Oui mais bon... ça te fait 41 cas à examiner, et c'est pas comme ça que j'ai fait.
(D'ailleurs si on généralise, la disjonction des cas est à éviter).
Il y a plus rapide et simple.

FeynmaN

Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par FeynmaN » 03 juil. 2009 17:57

Pourquoi 41 ? Que 10 cas (en choisissant un groupe de 2 et un groupe de 3 elements) (car 4 et 1 c'est impossible), et parmi ces 10, y en a qui n'admettent pas de solutions intelligiblement. Je sais que c'est pas la meilleure manière de résoudre les exercices, mais comme dit César : Tous les chemins mènent à Rome ! :mrgreen:

Asymetric

Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par Asymetric » 03 juil. 2009 18:08

FeynmaN a écrit :Pourquoi 41 ? Que 10 cas (en choisissant un groupe de 2 et un groupe de 3 elements) (car 4 et 1 c'est impossible), et parmi ces 10, y en a qui n'admettent pas de solutions intelligiblement. Je sais que c'est pas la meilleure manière de résoudre les exercices, mais comme dit César : Tous les chemins mènent à Rome ! :mrgreen:
Ouai mais bon, 10 cas c'est quand même beaucoup.
Si on compte tous les cas possible, ça fait (1 parmi 6) + (2 parmi 6) + (3 parmi 6) = 6 + 15 + 20 = 41.

Par contre, on ne peut pas choisir un groupe de 2 et un groupe de 3, l'ensemble principale est composé de 6 éléments.

FeynmaN

Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par FeynmaN » 03 juil. 2009 18:33

Au temps pour moi, j'ai cru qu'il y avait 5 éléments :D ! Mais la méthode reste identique !

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Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par gardener » 03 juil. 2009 18:46

Un "classique"; Calculer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444. (Variante, 2009!)

Feynman > Il y a plus simple que la bourrinitude, raisonne modulo 5 puis conclut (rem : attention, c'est pas si facile que ça ^^).
Doctorant Maths-Info, ancien ENS Cachan.

Asymetric

Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par Asymetric » 03 juil. 2009 18:53

gardener a écrit :Un "classique"; calculer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444. (Variante, 2009!)

Feynman > Il y a plus simple que la bourrinitude, raisonne modulo 5 puis conclut.
En effet, la divisibilité par 5 permet de conclure.

Pour ton exo sur la somme des chiffres de $ {4444}^{4444} $, c'est un exo d'OIM que je connaît.

On va laisser ça aux autres alors :mrgreen:

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Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par Zweig » 03 juil. 2009 18:59

Sauf erreur, la somme des chiffres de la somme des chiffres de $ 4444^{4444} $ est 7
2008-2009 : Terminale S spé Math au lycée Bernard Palissy
2009-2010 : MPSI au lycée Fabert (Metz)

FeynmaN

Re: Exercices d'Arithmétiques !

Message par FeynmaN » 03 juil. 2009 19:08

Pour l'exercice 1 :

Parmi 6 entiers naturels consécutifs, il y a au moins un entier divisible par 5, et au maximum deux.

Il y a un seul si le nombre divisible par 5 est différent de n. Et deux si c'est n et n+5.

Deux produits égaux admettent les même diviseurs, et donc si notre ensemble admet un seul nombre divisible par 5, alors on peut pas le partager en deux sous ensembles répondant au critère de l'exercice. Donc n et n+5 doivent être divisible par 5, et être dans deux groupes séparés.

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