polynome surjectif et polynome injectif

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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kalkoul
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polynome surjectif et polynome injectif

Message par kalkoul » dim. août 02, 2009 7:40 pm

salut à tous,
j'ai deux questions :
- Montrer que tout polynome de C[x] est surjectif. (ensemble d'arrivée C)
- montrer que si un polynome de C[x] est injectif, alors il a un degré 1.
à bientôt

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Deviling
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Re: polynome surjectif et polynome injectif

Message par Deviling » dim. août 02, 2009 7:43 pm

kalkoul a écrit :- Montrer que tout polynome de C[x] est surjectif. (ensemble d'arrivée C)


[spoiler]Sauf erreur tous les polynômes constants ne le sont pas.
Tu as oublié de les exclure.

Sinon s'il n'est pas constant, alors d°(P) > 0
Soit c € C, on veut montrer qu'il existe z tel que P(z) = c
c'est à dire que P(z) - c = 0 or d°(P-c) = d°(P) > 0
Donc par Alembert-Gauss P - c possède au moins une racine.[/spoiler]

kalkoul a écrit :- montrer que si un polynome de C[x] est injectif, alors il a un degré 1.


[spoiler]Soit P dans C[X] et n = d°(P)
Si il n'est pas de degré 1 alors ou bien il a plusieurs zéros donc n'est pas injectif
ou bien il posséde un zéro n-ième donc s'écrit de la forme
P = a * (X - b)^n ; avec a = c(P), n = d°(P), b le zéro n-ième.
donc pour toute u racine n -ième de l'unité on a
P(u+b) = a*u^n = a or n > 1 donc il y a plusieurs racines de l'unité (qui sont distinctes)[/spoiler]

Edit : Ajout de balise spoiler
Modifié en dernier par Deviling le dim. août 02, 2009 8:15 pm, modifié 3 fois.
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François Schnepf
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Re: polynome surjectif et polynome injectif

Message par François Schnepf » dim. août 02, 2009 8:11 pm

Pour la première question, revoyez la définition de la surjectivité.

[spoiler]Soit \( P \) un polynôme complexe, de degré au moins 1. On veut prouver que, pour tout complexe \( c \), l'équation \( P(z)=c \) admet au moins une solution, autrement dit que le polynôme \( P(X)-c \) admet au moins une racine. Il y a dans votre cours un théorème qui le dit.[/spoiler]

Pour la deuxième question, demandez-vous combien de racines un polynôme complexe non constant peut avoir au maximum pour espérer être injectif.

[spoiler]Si un polynôme complexe de degré \( n \) n'admet qu'une racine \( a \), et si \( \lambda \) est son coefficient dominant, il se factorise sous la forme \( \lambda (X-a)^n \). Un peu de travail avec des racines \( n^e \) de l'unité devrait vous permettre de conclure qu'à moins que \( n=1 \) il ne peut être injectif.[/spoiler]
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Thaalos
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Re: polynome surjectif et polynome injectif

Message par Thaalos » dim. août 02, 2009 8:15 pm

François Schnepf a écrit :Pour la première question, revoyez la définition de la surjectivité.

[spoiler]Soit \( P \) un polynôme complexe, de degré au moins 1. On veut prouver que, pour tout complexe \( c \), l'équation \( P(z)=c \) admet au moins une solution, autrement dit que le polynôme \( P(X)-c \) admet au moins une racine. Il y a dans votre cours un théorème qui le dit.[/spoiler]

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kalkoul
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Re: polynome surjectif et polynome injectif

Message par kalkoul » dim. août 02, 2009 10:18 pm

merci pour vos réponses. je ne trouve rien à y redire... ( et mes excuses pour l'hypothèse qui manque dans la première question)

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