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polynome surjectif et polynome injectif

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polynome surjectif et polynome injectif

Publié : 02 août 2009 19:40
par kalkoul
salut à tous,
j'ai deux questions :
- Montrer que tout polynome de C[x] est surjectif. (ensemble d'arrivée C)
- montrer que si un polynome de C[x] est injectif, alors il a un degré 1.
à bientôt

Re: polynome surjectif et polynome injectif

Publié : 02 août 2009 19:43
par Deviling
kalkoul a écrit :- Montrer que tout polynome de C[x] est surjectif. (ensemble d'arrivée C)
SPOILER:
Sauf erreur tous les polynômes constants ne le sont pas.
Tu as oublié de les exclure.

Sinon s'il n'est pas constant, alors d°(P) > 0
Soit c € C, on veut montrer qu'il existe z tel que P(z) = c
c'est à dire que P(z) - c = 0 or d°(P-c) = d°(P) > 0
Donc par Alembert-Gauss P - c possède au moins une racine.
kalkoul a écrit : - montrer que si un polynome de C[x] est injectif, alors il a un degré 1.
SPOILER:
Soit P dans C[X] et n = d°(P)
Si il n'est pas de degré 1 alors ou bien il a plusieurs zéros donc n'est pas injectif
ou bien il posséde un zéro n-ième donc s'écrit de la forme
P = a * (X - b)^n ; avec a = c(P), n = d°(P), b le zéro n-ième.
donc pour toute u racine n -ième de l'unité on a
P(u+b) = a*u^n = a or n > 1 donc il y a plusieurs racines de l'unité (qui sont distinctes)
Edit : Ajout de balise spoiler

Re: polynome surjectif et polynome injectif

Publié : 02 août 2009 20:11
par François Schnepf
Pour la première question, revoyez la définition de la surjectivité.
SPOILER:
Soit $ P $ un polynôme complexe, de degré au moins 1. On veut prouver que, pour tout complexe $ c $, l'équation $ P(z)=c $ admet au moins une solution, autrement dit que le polynôme $ P(X)-c $ admet au moins une racine. Il y a dans votre cours un théorème qui le dit.
Pour la deuxième question, demandez-vous combien de racines un polynôme complexe non constant peut avoir au maximum pour espérer être injectif.
SPOILER:
Si un polynôme complexe de degré $ n $ n'admet qu'une racine $ a $, et si $ \lambda $ est son coefficient dominant, il se factorise sous la forme $ \lambda (X-a)^n $. Un peu de travail avec des racines $ n^e $ de l'unité devrait vous permettre de conclure qu'à moins que $ n=1 $ il ne peut être injectif.

Re: polynome surjectif et polynome injectif

Publié : 02 août 2009 20:15
par Thaalos
François Schnepf a écrit :Pour la première question, revoyez la définition de la surjectivité.
SPOILER:
Soit $ P $ un polynôme complexe, de degré au moins 1. On veut prouver que, pour tout complexe $ c $, l'équation $ P(z)=c $ admet au moins une solution, autrement dit que le polynôme $ P(X)-c $ admet au moins une racine. Il y a dans votre cours un théorème qui le dit.
D'Alembert-Gauss ?

Re: polynome surjectif et polynome injectif

Publié : 02 août 2009 22:18
par kalkoul
merci pour vos réponses. je ne trouve rien à y redire... ( et mes excuses pour l'hypothèse qui manque dans la première question)
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