Discussion sur un exercice MP*
Re: Discussion sur un exercice MP*
Mais si le resultat n'est pas vrai pour des ensembles finis bah on ne peut pas dire qu'il est vrai pour des ensembles quelconques, je n'ai fait que verifier la validite du resultat pour un cas simple ! tu n'a qu'a prendre pour E 2 elements ,pour F 3, tu as les surjections mais tu ne peux definir aucune injection ..
Re: Discussion sur un exercice MP*
kiw99 a écrit :Mais si le resultat n'est pas vrai pour des ensembles finis bah on ne peut pas dire qu'il est vrai pour des ensembles quelconques, je n'ai fait que verifier la validite du resultat pour un cas simple ! tu n'a qu'a prendre pour E 2 elements ,pour F 3, tu as les surjections mais tu ne peux definir aucune injection ..
Vérifions:
il existe une injection de E dans F
E = {a;b}
F={1;2;3}
posons pour l'application f
a -> 1
b->2
est une injection
je pose $ x_0=a $
l'image de E est {1;2}
pour définir la surjection de F vers E:
on prend d'abord les élèments de f(E)
1 -> a (car on avait f(a)=1)
2-> b
on s'occupe ensuite des éléments de F \ f(E)
il reste 3
on pose $ g(3) = x_0 = a $
on obtient bien une SURJECTION de F dans E
convaincu ? http://forum.prepas.org/posting.php?mod ... 7&p=261062#
Re: Discussion sur un exercice MP*
À noter :
Dans le cas général, l'implication
$ \exists f : F \to G $ surjective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ injective
n'est pas vraie si on se refuse à admettre l'axiome du choix.
Alors que l'autre implication
$ \exists f : F \to G $ injective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ surjective
peut être prouvée sans faire appel à l'axiome du choix.
Dans le cas général, l'implication
$ \exists f : F \to G $ surjective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ injective
n'est pas vraie si on se refuse à admettre l'axiome du choix.
Alors que l'autre implication
$ \exists f : F \to G $ injective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ surjective
peut être prouvée sans faire appel à l'axiome du choix.
Re: Discussion sur un exercice MP*
Si on refuse l'axiome du choix, il y a beaucoup de résultats de mathématiques qui ne peuvent plus être prouvés.....V@J a écrit :À noter :
Dans le cas général, l'implication
$ \exists f : F \to G $ surjective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ injective
n'est pas vraie si on se refuse à admettre l'axiome du choix.
Alors que l'autre implication
$ \exists f : F \to G $ injective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ surjective
peut être prouvée sans faire appel à l'axiome du choix.
par exemple, si mes souvenirs sont exacts: le théorème de la base incomplète et l'existence d'espace supplémentaire
Re: Discussion sur un exercice MP*
bein le but de l'exercice est de prouver ( et non pas discuter si c'est vrai ou non ) l'équivalence donc je vois pas pourquoi c'est faux qu'est ce qui te semble faux dans les démonstrations précédentes?
Re: Discussion sur un exercice MP*
C'est l'inverse. Surjection de E dans F <=> tout élément de l'ensemble d'arrivée (F) a au moins un antécédent dans l'ensemble de départ (E). Donc il faut au moins autant d'éléments dans E que dans F, donc Card(F) <= Card(E).kiw99 a écrit : l'existence d'une surjection de E sur F est equivalent a dire que cardE< ou egal au cardF , de meme l'existence de l'injection est equivalent a cardF<ou egal au cardE.
Injection de E dans F <=> tout élément de l'ensemble d'arrivée (F) a au plus un antécédent dans l'ensemble de départ (E). Donc il faut au plus autant d'éléments dans E que dans F, donc Card(E) <= Card(F).
Contre-exemples les plus simples partiellement donnés plus haut :
E={0}, F={0,1}, f(0)=0 : Card(E)<= Card(F), f est injective mais non surjective.
E={0,1}, F={0}, f(0)=0, f(1)=0 : Card(F)<= Card(E), f est surjective mais non injective.
Re: Discussion sur un exercice MP*
On peut même aller plus loin en se souvenant que injectivité/surjectivité sont liées par l'existence d'un inverse à gauche/droite. En effet, f surjective est inversible à droite, ce qui donne une fonction inversible à gauche qui va de l'ensemble d'arrivée F dans l'ensemble de départ E, i.e. une injection de F dans E...V@J a écrit :Dans le cas général, l'implication
$ \exists f : F \to G $ surjective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ injective
n'est pas vraie si on se refuse à admettre l'axiome du choix.
On montre que l'axiome du choix est équivalent au fait que toute surjection soit inversible à droite. Autrement dit, on a une caractérisation très surprenante de l'axiome du choix en termes de notions "simples".
Cela dit, je ne l'ai pas vérifié et je ne sais pas si ce résultat a une quelconque application pratique.
Re: Discussion sur un exercice MP*
On prouve des propositions démontrables en général... l'axiome du choix est certes puissant, mais est-il vrai ?esta-fette a écrit :Si on refuse l'axiome du choix, il y a beaucoup de résultats de mathématiques qui ne peuvent plus être prouvés.....V@J a écrit :À noter :
Dans le cas général, l'implication
$ \exists f : F \to G $ surjective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ injective
n'est pas vraie si on se refuse à admettre l'axiome du choix.
Alors que l'autre implication
$ \exists f : F \to G $ injective $ \Rightarrow \exists g : G \to F $ surjective
peut être prouvée sans faire appel à l'axiome du choix.
par exemple, si mes souvenirs sont exacts: le théorème de la base incomplète et l'existence d'espace supplémentaire
Re: Discussion sur un exercice MP*
à Mookid.....
un axiome n'a pas à être vrai ou faux......
il doit ne pas être contradictoire avec les autres axiomes et non démontrable......
pas démontrable, sinon, c'est un théorème.....
non contradictoire car sinon la théorie est contradictoire, il existerait une proposition A telle que l'on arriverait à démontrer à la fois la proposition A et la proposition contraire non A.....
Quand on ajoute un axiome non contradictoire à une théorie, on crée une nouvelle théorie moins générale.....http://forum.prepas.org/posting.php?mod ... =3&t=21447#
un axiome n'a pas à être vrai ou faux......
il doit ne pas être contradictoire avec les autres axiomes et non démontrable......
pas démontrable, sinon, c'est un théorème.....
non contradictoire car sinon la théorie est contradictoire, il existerait une proposition A telle que l'on arriverait à démontrer à la fois la proposition A et la proposition contraire non A.....
Quand on ajoute un axiome non contradictoire à une théorie, on crée une nouvelle théorie moins générale.....http://forum.prepas.org/posting.php?mod ... =3&t=21447#
Re: Discussion sur un exercice MP*
C'était une question rhétoriqueesta-fette a écrit :à Mookid.....
un axiome n'a pas à être vrai ou faux......
il doit ne pas être contradictoire avec les autres axiomes et non démontrable......
pas démontrable, sinon, c'est un théorème.....
non contradictoire car sinon la théorie est contradictoire, il existerait une proposition A telle que l'on arriverait à démontrer à la fois la proposition A et la proposition contraire non A.....
Quand on ajoute un axiome non contradictoire à une théorie, on crée une nouvelle théorie moins générale.....http://forum.prepas.org/posting.php?mod ... =3&t=21447#
Bien sûr, la «véracité» d'un axiome est intrinsèque... et la théorie qui en découle est une certaine théorie, avec un certain nombre de théorèmes qui en sont les résultats.
Mais avant tout ça, on peut (on doit ?) se demander si ces axiomes correspondent à des faits tangibles ; et il me semble que l'axiome du choix est relativement discuté.
Je me demandais donc juste s'il est «vrai» («vrai» s'interprétant comme intuitif, acceptable...).