Division Euclidiènne

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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ouragh
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Division Euclidiènne

Message par ouragh » lun. déc. 13, 2010 7:56 pm

Bonjour [size=150]

je souhaite avoie une réponse à une question relative à la division euclidienne et plus exactement relative à la décomposition d'une fraction de deux polynômes dont le dividende ( numérateur ) serait de degré égal ou supérieur à celui du diviseur ( dénominateur) sans avoir recours à la division euclidienne longue ( les deux polynômes étant normalisés ).
Il est vrai que si le diviseur est de degré un c'est à dire ( x-a ) on utilise la méthode de RUFFINI , dite aussi division synthétique .
Exemple de division à effectuer : polynôme de degré 11 sur un polynôme de degré 5 en excluant les cas particuliers simples

optimath
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Re: Division Euclidiènne

Message par optimath » lun. déc. 13, 2010 8:09 pm

S'il faut faire une division euclidienne, bah il faut la faire !
Je ne sais pas comment tu procèdes mais on pose juste l'opération comme pour 11:5 et tu te lances, même principe.

ouragh
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Re: Division Euclidiènne

Message par ouragh » lun. déc. 13, 2010 9:14 pm

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FeynmaN
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Re: Division Euclidiènne

Message par FeynmaN » lun. déc. 13, 2010 9:20 pm

Tu parles de l'algorithme de Horner !
Voici un lien : http://jgaltier.free.fr/Histoire/Horner.pdf

Je t'avoue que j'ai du mal à retenir cette algorithme, bien qu'il soit au programme des prépas.. mais on s'en sert jamais !
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ouragh
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Re: Division Euclidiènne

Message par ouragh » lun. déc. 13, 2010 9:35 pm

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V@J
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Re: Division Euclidiènne

Message par V@J » lun. déc. 13, 2010 9:39 pm

Facile : (P(x))/(Q(x))=(x^8+x^7-2x^5+x^4-2x^3-x^2+5x-3)/(x^2-1+1)^2 = (x^8+x^7-2x^5+x^4-2x^3-x^2+5x-3)/x^4 = x^4+x^3-2x+1-2/x-1/x^2+5/x^3-3/x^4 :mrgreen:

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Re: Division Euclidiènne

Message par ouragh » lun. déc. 13, 2010 9:42 pm

Monsieur Optimah ,
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Re: Division Euclidiènne

Message par ouragh » lun. déc. 13, 2010 9:43 pm

Monsieur Optimah ,
Encore merci de votre seconde réponse ; Je croit qu'on feit recours à l'algorithme de HORNER surtout pour déterminer un zéro d'un polynôme de degré n>2 et non d'effectuer la division euclidienne . Plus exactement cet algorithme utilise certe la division euclidienne par le procédé de RUFFINI

ouragh
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Re: Division Euclidiènne

Message par ouragh » lun. déc. 13, 2010 9:57 pm

A V@j ;

Je reconnais que votre réponse est plein d'humours mais elle manque de tact et qu'en général en effectuant une division euclidienne on est toujours mal à l'aise et j'espère que vous savez de quoi il est question? Une telle opération ne consiste pas
à interchanger des chiffres , c'est beaucoup plus sérieux

Facile : (P(x))/(Q(x))=(x^8+x^7-2x^5+x^4-2x^3-x^2+5x-3)/(x^2-1+1)^2 = (x^8+x^7-2x^5+x^4-2x^3-x^2+5x-3)/x^4 = x^4+x^3-2x+1-2/x-1/x^2+5/x^3-3/x^4 :mrgreen: Non ceci n'est pas aussi facile !

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FeynmaN
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Re: Division Euclidiènne

Message par FeynmaN » lun. déc. 13, 2010 10:03 pm

ouragh a écrit : V@j;..

Peut être t'es nouveau sur le forum, mais pour V@J tout est facile, c'est Chuck Norris des mathématiques :mrgreen:
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Re: Division Euclidiènne

Message par ouragh » lun. déc. 13, 2010 10:15 pm

Monsieur FeynmaN ;
Je vous remercie de l'information sur le V@j ; il est vrai que je suis nouveau sur le forum; J'espère pour lui que même en agissant ainsi il apprendra des brins de ce qui se discute

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Re: Division Euclidiènne

Message par V@J » lun. déc. 13, 2010 10:46 pm

Bonsoir ouragh,

Dans ta première version, il y avait une coquille, ce qui m'a beaucoup facilité la tâche. Cette coquille rendait le calcul vraiment très facile, alors j'en ai profité, parce que je trouvais ça marrant.
Cela dit, voyant bien là qu'il s'agissait d'une coquille, j'ai quand même calculé la DES à la main ; si j'ai manifestement fait quelques erreurs de calcul, il n'en reste pas moins qu'il ne m'a fallu que 5 minutes (et que, aux erreurs de calcul près, mon algorithme état donc relativement efficace). Comment ai-je fait ? Tout simplement comme font les élèves de CM2 quand ils apprennent la division. J'ai posé ma division euclidienne, étant fort satisfait de voir que x^2-1+1 est un polynôme unitaire (ce qui facilite beaucoup la vie, puisque tous les nombres que l'on a alors à manipuler sont des entiers), et ça marche tout seul.

Voici le début de l'algorithme :

x^8+x^7-2x^5+x^4-2x^3-x^2+5x-3 =
(x^8-x^7+x^6)+2x^7-x^6-2x^5+x^4-2x^3-x^2+5x-3 =
(x^8-x^7+x^6)+(2x^7-2x^6+2x^5)+x^6-4x^5+x^4-2x^3-x^2+5x-3 =
(x^8-x^7+x^6)+(2x^7-2x^6+2x^5)+(x^6-x^5+x^4)-3x^5-2x^3-x^2+5x-3 =
(x^8-x^7+x^6)+(2x^7-2x^6+2x^5)+(x^6-x^5+x^4)+(-3x^5+3x^4-3x^3)-3x^4+x^3-x^2+5x-3 =
(x^8-x^7+x^6)+(2x^7-2x^6+2x^5)+(x^6-x^5+x^4)+(-3x^5+3x^4-3x^3)+(-3x^4+3x^3-3x^2)-2x^3+2x^2+5x-3 =
(x^8-x^7+x^6)+(2x^7-2x^6+2x^5)+(x^6-x^5+x^4)+(-3x^5+3x^4-3x^3)+(-3x^4+3x^3-3x^2)+(-2x^3+2x^2+-2x)+7x-3 =
(x^2-x+1)(x^6+2x^5+x^4-3x^3-3x^2-2x)+(7x-3)

Il suffit maintenant de refaire une division euclidienne de x^6+2x^5+x^4-3x^3-3x^2-2x par x^2-x+1, que je n'écrirai pas ici.

PS : dans ce cas particulier, on aurait même pu observer que $ x^3-1=(x-1)(x^2-x+1) $, ce qui facilite d'autant plus les calculs...

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Re: Division Euclidiènne

Message par fakbill » lun. déc. 13, 2010 10:53 pm

En 2010 ce genre d'exo uniquement calculatoire n'a vraiment plus grand intéret...

Quel est intéret d'une réponse trouvée à la main en 6min avec un taux de confiance...bah disons "qui dépend de celui qui fait le calcul" alors que je peux avoir pour pas un rond la même réponse en une fraction de seconde et de facon certaine avec un logiciel (vérification comprise pour les parano)??? L'éventuelle beauté de la chose me dépasse ;)
Et puis bon j'ira même plus loin...sauf pour le mathématicien pur...à quoi bon faire le calcul sur un bout de papier puisque de tout facon le resultat n'aura probablement d'interet qu'une fois rentŕé dans un ordinateur...

Pour info, Horner, c'est un schéma de calcul ultra utile en analyse numérique...
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

ouragh
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Re: Division Euclidiènne

Message par ouragh » mar. déc. 14, 2010 6:30 pm

Monsieur v@j
je vous présente mes excuses pour les réflexions que j'ai formulés en votre sujet ;
pour le problème que j'ai soumis à ce forum il se pose en fait à certains étudiants dans leurs cursus . Par exemple passer un examen sur le calcul intégral ou ils doivent calculer une intégrale de type

∫▒(x^7+4x^6+5x^5+2x^3-4x^2-2x+7)/((x^2+x+2)^2 ) dx

S'il existait un algorithme qui permettrait à ces étudiants de donner la primitive de cette intégrale en moins de cinq minutes je suis certains qu'il seraient preneurs . Alors je reprends ma question : existe-t-il un algorithme qui donnerait pour qu'un étudiant qui devant sa copie donnerait ( sans aucune tricherie ! ) le résultat en moins de cinq minute ; Comme vous voyez monsieur Fakbil dans ces cas j'en suis certain que ces étudiants seraient preneurs d'un tel algorithme
Nb: le résultat de la division que j'ai proposé tout au départ peut être trouvé en de deux ( ou au plus cinq ) minutes !!! j'affirme que cela est possible !!!! Ah pour ne pas oublier le résultat que vous proposé est très loin de celui que l'on doit trouver
De plus revoir le ''PS'' que vous proposez ?

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Re: Division Euclidiènne

Message par Nuhlanaurtograff » mar. déc. 14, 2010 7:39 pm

pour le problème que j'ai soumis à ce forum il se pose en fait à certains étudiants dans leurs cursus . Par exemple passer un examen sur le calcul intégral ou ils doivent calculer une intégrale de type

Si des étudiants avaient une telle intégrale à calculer lors d'un examen, alors ils auraient le temps de poser leur division euclidienne, parce que ce serait prévu pour.
Modifié en dernier par Nuhlanaurtograff le mar. déc. 14, 2010 7:40 pm, modifié 1 fois.

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