Dérivée Distribution

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Still_dre
Messages : 83
Enregistré le : lun. mars 17, 2008 6:20 pm

Dérivée Distribution

Message par Still_dre » ven. janv. 07, 2011 4:07 pm

Bonjour, je suis en 1ere année d'école d'ingénieur.

Je suis en train d'apprendre à dériver des distributions.
J'ai assez bien compris le principe, lorsque la fonction est continue ou qu'il y a des sauts.

Mais lorsque la dérivée possède un saut mais pas la fonction, je n'ai pas bien saisi le principe.

Par exemple, si je veux dériver abs(x) (valeur absolue):

La dérivée vaut -1 si x <0, 1 si x>0, mais en 0 que vaut-elle au sens des distributions?

Merci.

Valvino
Messages : 1418
Enregistré le : jeu. août 31, 2006 11:59 am

Re: Dérivée Distribution

Message par Valvino » ven. janv. 07, 2011 5:11 pm

Salut

Il faut bien voir que les distributions régulières, c'est-à-dire l'injection de $ L^1_\mathrm{loc} $ dans $ \mathcal D' $), sont définies presque-partout comme n'importe quel espace de fonctions $ L^p $.

A partir de là il est possible de modifier une fonction sur un ensemble de mesure nulle sans changer quoique ce soit.

La dérivée au sens des distributions de la fonction continue $ |x| $ est la fonction de $ L^1_\mathrm{loc} $ définie presque-partout comme tu l'as dis. Tu peux mettre n'importe quelle valeur en 0 ca ne change rien.

Avatar du membre
fakbill
Messages : 11228
Enregistré le : mer. juil. 30, 2008 4:59 pm
Classe : Dr.-Ing

Re: Dérivée Distribution

Message par fakbill » ven. janv. 07, 2011 5:35 pm

Oui. Une distribution n'est PAS un machin de R dans R.

Still_dre : je ne sais pas dans quelle école tu es mais ne perds pas de vue que, de toutes façons, toutes les fonctions de la vraie vie sont numériques :wink:
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

Still_dre
Messages : 83
Enregistré le : lun. mars 17, 2008 6:20 pm

Re: Dérivée Distribution

Message par Still_dre » ven. janv. 07, 2011 5:56 pm

D'accord, je comprends bien. D'ailleurs en revenant à la définition (intégrale avec une fonction à support compact), on voyait bien que la valeur de la dérivée en 0 n'était pas très importante.
Fakbill, certes mais où veux-tu en venir? :)

Avatar du membre
fakbill
Messages : 11228
Enregistré le : mer. juil. 30, 2008 4:59 pm
Classe : Dr.-Ing

Re: Dérivée Distribution

Message par fakbill » ven. janv. 07, 2011 6:45 pm

En message privé ;)
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

optimath
Messages : 1229
Enregistré le : jeu. mai 15, 2008 4:14 pm
Classe : Ingé

Re: Dérivée Distribution

Message par optimath » ven. janv. 07, 2011 6:48 pm

Il semblerait qu'énormément d'écoles d'ing aient viré les distributions de leur programme de mathématiques !

nafpy
Messages : 173
Enregistré le : sam. sept. 15, 2007 11:12 pm

Re: Dérivée Distribution

Message par nafpy » ven. janv. 07, 2011 7:12 pm

optimath a écrit :Il semblerait qu'énormément d'écoles d'ing aient viré les distributions de leur programme de mathématiques !

C'est bien dommage.
De mon temps, ça faisait partie de la 3ième année de Maths. Maintenant, c'est vu uniquement dans certaine option de M2.
Tout d'abord, d'après mes souvenirs, une distribution c'est une forme lineaire et "continue" sur un espace de fonctions régulières.
A une fonction de L1 on peut y associer une distribution, mais toute distribution n'est pas forcement associée à une fonction (ex: La Dirac).
J'en conserve un assez bon souvenir, car on avait à l'epoque, un professeur célèbre à Toulouse, assez original.
Parent d'elèves ...

Avatar du membre
LB
Messages : 1059
Enregistré le : lun. juin 09, 2008 2:14 pm
Localisation : par rapport à un idéal maximal

Re: Dérivée Distribution

Message par LB » ven. janv. 07, 2011 7:35 pm

Mouais. Si c'est pour faire des distributions sans même savoir que dans L^p il y a une notion d'égalité presque partout, autant les virer du programme.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/

optimath
Messages : 1229
Enregistré le : jeu. mai 15, 2008 4:14 pm
Classe : Ingé

Re: Dérivée Distribution

Message par optimath » ven. janv. 07, 2011 8:11 pm

nafpy a écrit :
optimath a écrit :Il semblerait qu'énormément d'écoles d'ing aient viré les distributions de leur programme de mathématiques !

J'en conserve un assez bon souvenir, car on avait à l'epoque, un professeur célèbre à Toulouse, assez original.


Peut-être que vous en gardez aussi un assez bon souvenir parce que l'ex-taupin qui en avait marre d'étudier la moindre irrégularité, était tout d'un coup content de pouvoir par exemple dériver sans se poser trop de questions. Un certain confort et une certaine liberté retrouvés.

Avatar du membre
fakbill
Messages : 11228
Enregistré le : mer. juil. 30, 2008 4:59 pm
Classe : Dr.-Ing

Re: Dérivée Distribution

Message par fakbill » ven. janv. 07, 2011 9:17 pm

Bah oui. Beaucoup d'écoles ont un cours de maths de 1A qui traite de :
* Intégrale de Lebesgue.
* Distribution avec dans l'idée de défnir la TF et son inverse quand ça se passe bien. Th de Shannon du point de vue matheux.
* Analyse complexe, Liouville et ce genre de chose.

Je n'ai rien contre cette culture mais si c'est pour ne pas savoir que 0.1+0.1 == 0.2 est false si on travaille avec des float (ieee754 si vous voulez) il y a un problème.

L'analye complexe m'a laissé un souvenir "superbe" : **aucun** des cours de l'école n'a jamais utilisé le moindre résultat de cette théorie. Le partiel consistait à calculer une intégrale à la noix sans intéret. Je veux bien mais j'aurais préférer plus d'heures d'analyse numérique. Connaitre Lebesgue sans avoir des idées claires sur l'intégration numérique...c'est bien gentil pour un ingé mais l'intéret est...hum..."presque nul" :mrgreen:
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

Valvino
Messages : 1418
Enregistré le : jeu. août 31, 2006 11:59 am

Re: Dérivée Distribution

Message par Valvino » ven. janv. 07, 2011 9:24 pm

Autant pour l'analyse complexe je suis d'accord c'est clairement useless, autant faire un peu de distributions je pense que c'est une bonne idée, ça mène vite aux éléments finis, à la théorie du signal, etc...

Avatar du membre
fakbill
Messages : 11228
Enregistré le : mer. juil. 30, 2008 4:59 pm
Classe : Dr.-Ing

Re: Dérivée Distribution

Message par fakbill » ven. janv. 07, 2011 9:33 pm

Oui mais si on veut faire les disributions proprement ça prend du temps.
Il faut déjà faire toute la théorie de l'intégration pour définir les espaces L ... et puis bon finalement la transo de Laplace marchait en SI en prépa avant de voir tout ça...elle marche toujours après ;)

Cependant, je suis d'accord, c'est beaucoup moins useless que l'analyse complexe (sur laquelle on passe tout de même des heures en 1A dans de très nombreuses écoles)...c'est scandaleux.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

Avatar du membre
Ragoudvo
Messages : 5614
Enregistré le : mar. juin 14, 2005 7:29 pm

Re: Dérivée Distribution

Message par Ragoudvo » ven. janv. 07, 2011 9:36 pm

fakbill a écrit :et puis bon finalement la transo de Laplace marchait en SI en prépa avant de voir tout ça...


Ben non, justement...

optimath
Messages : 1229
Enregistré le : jeu. mai 15, 2008 4:14 pm
Classe : Ingé

Re: Dérivée Distribution

Message par optimath » ven. janv. 07, 2011 9:50 pm

Ah oui, l'analyse complexe (qui est belle) est vraiment useless. Je pense qu'elle n'a plus été utilisée dans aucun cours sauf en méca flotte pour les potentiels complexes mais bon, chercher le potentiel complexe quand on est devant un vrai problème de la vie .... :lol:

Avatar du membre
fakbill
Messages : 11228
Enregistré le : mer. juil. 30, 2008 4:59 pm
Classe : Dr.-Ing

Re: Dérivée Distribution

Message par fakbill » ven. janv. 07, 2011 11:04 pm

[ fakbill a écrit:et puis bon finalement la transo de Laplace marchait en SI en prépa avant de voir tout ça...
Ben non, justement...


Ben si ;)
Le calcul opérationnel d'Heaviside permettait de résoudre des équa diff avant que la théorie des distributions n'existe. Depuis le travail de Lebesgue...ben...tout ca rentre dans le cadre d'une belle théorie....certes...mais ca ne permet pas de résoudre plus d'équa diff qu'avant.
La mise au propre mathématique d'un outil n'a pas toujours un impact sur son utlisation.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 5 invités