Dérivée Distribution

[Still_dre]

Bonjour, je suis en 1ere année d'école d'ingénieur.

Je suis en train d'apprendre à dériver des distributions.
J'ai assez bien compris le principe, lorsque la fonction est continue ou qu'il y a des sauts.

Mais lorsque la dérivée possède un saut mais pas la fonction, je n'ai pas bien saisi le principe.

Par exemple, si je veux dériver abs(x) (valeur absolue):

La dérivée vaut -1 si x <0, 1 si x>0, mais en 0 que vaut-elle au sens des distributions?

Merci.

[Valvino]

Salut

Il faut bien voir que les distributions régulières, c'est-à-dire l'injection de $ L^1_\mathrm{loc} $ dans $ \mathcal D' $), sont définies presque-partout comme n'importe quel espace de fonctions $ L^p $.

A partir de là il est possible de modifier une fonction sur un ensemble de mesure nulle sans changer quoique ce soit.

La dérivée au sens des distributions de la fonction continue $ |x| $ est la fonction de $ L^1_\mathrm{loc} $ définie presque-partout comme tu l'as dis. Tu peux mettre n'importe quelle valeur en 0 ca ne change rien.

[fakbill]

Oui. Une distribution n'est PAS un machin de R dans R.

Still_dre : je ne sais pas dans quelle école tu es mais ne perds pas de vue que, de toutes façons, toutes les fonctions de la vraie vie sont numériques

[Still_dre]

D'accord, je comprends bien. D'ailleurs en revenant à la définition (intégrale avec une fonction à support compact), on voyait bien que la valeur de la dérivée en 0 n'était pas très importante.
Fakbill, certes mais où veux-tu en venir?

[fakbill]

En message privé

[optimath]

Il semblerait qu'énormément d'écoles d'ing aient viré les distributions de leur programme de mathématiques !

[nafpy]

Il semblerait qu'énormément d'écoles d'ing aient viré les distributions de leur programme de mathématiques !

C'est bien dommage.
De mon temps, ça faisait partie de la 3ième année de Maths. Maintenant, c'est vu uniquement dans certaine option de M2.
Tout d'abord, d'après mes souvenirs, une distribution c'est une forme lineaire et "continue" sur un espace de fonctions régulières.
A une fonction de L1 on peut y associer une distribution, mais toute distribution n'est pas forcement associée à une fonction (ex: La Dirac).
J'en conserve un assez bon souvenir, car on avait à l'epoque, un professeur célèbre à Toulouse, assez original.

[LB]

Mouais. Si c'est pour faire des distributions sans même savoir que dans L^p il y a une notion d'égalité presque partout, autant les virer du programme.

[optimath]

Il semblerait qu'énormément d'écoles d'ing aient viré les distributions de leur programme de mathématiques !

J'en conserve un assez bon souvenir, car on avait à l'epoque, un professeur célèbre à Toulouse, assez original.

Peut-être que vous en gardez aussi un assez bon souvenir parce que l'ex-taupin qui en avait marre d'étudier la moindre irrégularité, était tout d'un coup content de pouvoir par exemple dériver sans se poser trop de questions. Un certain confort et une certaine liberté retrouvés.

[fakbill]

Bah oui. Beaucoup d'écoles ont un cours de maths de 1A qui traite de :
* Intégrale de Lebesgue.
* Distribution avec dans l'idée de défnir la TF et son inverse quand ça se passe bien. Th de Shannon du point de vue matheux.
* Analyse complexe, Liouville et ce genre de chose.

Je n'ai rien contre cette culture mais si c'est pour ne pas savoir que 0.1+0.1 == 0.2 est false si on travaille avec des float (ieee754 si vous voulez) il y a un problème.

L'analye complexe m'a laissé un souvenir "superbe" : **aucun** des cours de l'école n'a jamais utilisé le moindre résultat de cette théorie. Le partiel consistait à calculer une intégrale à la noix sans intéret. Je veux bien mais j'aurais préférer plus d'heures d'analyse numérique. Connaitre Lebesgue sans avoir des idées claires sur l'intégration numérique...c'est bien gentil pour un ingé mais l'intéret est...hum..."presque nul"